謝宗翰的隨筆

延續上篇的 Black-Scholes Model 的性質，這次要介紹 Put-Call parity 與 Black-Scholes Formula 兩者等價。 回憶 Black-Scholes Formula \[\left\{ \begin{array}{l} C = {S_0}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)\\ P = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}N\left( { - {d_1}} \right) \end{array} \right. \] 其中 $C$ 為 Call option 價格，$P$ 為 Put Option 價格，$r$ 為無風險利率，$\sigma$ 為股價波動度，$K$ 為執行價格，$T$ 為到期時間， $N(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF)，且\[\left\{ \begin{array}{l} {d_1} = \frac{{\ln (S/K) + (r - q + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T)}}{{\sigma \sqrt T }}\\ {d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T \end{array} \right.\] 與 Put-Call parity \[C - P = {S_0} - K{e^{ - rT}} \] =================== Claim:  Black-Scholes Formula 滿足 Put-Call parity。 =================== Proof 計算 $C-P$： 將 Black-Scholes Formula 的結果帶入上式，可得 \[C - P = \left[ {{S_0}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)} \right] - \left[ {K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}

考慮系統狀態方程： \[ x(k+1) = f(x(k), u(k)) \]現在引入一個 監測函數 (monitor function): $g(x(k))$ 此函數用來擷取我們所關心的系統狀態。 現在我們定義 cost function \[ J(u) := \displaystyle \min_{k=1,2,...,N} g(x(k)) \] 我們的目標： 藉由選取最佳的 $u(k) \in \Omega_k$ 使得 $\max J(u)$，亦即 \[ \max \displaystyle \min_{k=1,2,...,N} g(x(k)) \] 此時我們的 Bellman equation 需要進行修正： \[ I(x(l), N-l) = \max_{u(l) \in \Omega_l} \left \{ \min \left \{ g\left( x(l+1), I(x(l+1), N-(l+1)) \right ) \right \} \right\} \] Example 考慮如下狀態方程： \[x\left( {k + 1} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}\\ { - \frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}} \end{array}} \right]x\left( k \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right]u\left( k \right) \] 其中 $x(k) := [x_1(k) \ x_2(k)]^T$； 現在，僅考慮 $N=2$ (只有兩步)的情況，另外控制力 $u(0), u(1) \geq 0$ 且需滿足如下拘束： $u(0) + u(1) \leq 1$，定義監測函數 \[ g(x(k)) = x_1(k) \] 試求一組 $u^*(0), u^*(1)$ maximize the Floor of $g((k))$。 Solution 首先考慮 Optimal cost of one-step-to-go:  ($l=N-1 =