首先我們給出相關定義 ============================ Definition (Eigenvalue and Eigenvector) 設 $A$ 為 $n \times n$ 方陣,若存在一非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ (or $\in \mathbb{C}^n$) 與 純量 $\lambda \in \mathbb{R}^1$ (or $\in \mathbb{C}^1$)滿足 \[ Ax = \lambda x \]則我們稱 $\lambda$ 為 $A$ 的 特徵值 (eigenvalue) 且 $x$ 為 $A$對應於 $\lambda $ 的特徵向量(eigenvector)。 ============================ Comments: 1. 上述定義中 $Ax = \lambda x$ 又稱 eigenvalue-eigenvector 關係: $( \lambda I - A)x =0$,注意! $0$ 為 零向量!!。 2. 若 $A$ 為 $n \times n$ 方陣,則我們稱下式 \[\det (\lambda I - A)\]為 $A$ 矩陣的 特徵多項式(characteristic polynomial) 且 $\det(\lambda I -A)=0$ 為特徵方程(characteristic equation)。 現在考慮 LTI 系統 (但無考慮外力 $u=0$) 以狀態空間表示 \[ \dot {x} = Ax, \]其中 $x$ 為 $n \times 1$ 狀態向量,$A$ 為 $n \times n$ 常數矩陣。現在對上式取拉式轉換 且令初值為零, \[sX\left( s \right) = AX\left( s \right) \Rightarrow \left( {sI - A} \right)X\left( s \right) = 0 \] 亦即對上述系統而言,其解特徵方程 (characteristic polynomial) 可寫為 \[ \det( s I - A) =0 \]且 特徵方程式的根 即為 eigenvalue。 對角化 (Diagonalization) 考慮 $A$
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya