謝宗翰的隨筆

Life can only be understood going backwards, but it must be lived going forwards. --- Kierkegaard. 考慮一組變數 $w,x,y,z$ 且我們希望最佳化下列的成本函數 \[ f(w,x) + g(x,y) + h(y,z) \]讀者可已注意到上述的成本函數中有特殊的結構，亦即每一項只有兩個變數。 Backward Dynamic Programming 若我們考慮 $w$ 固定，則上述最佳化問題 \[ \min_{x,y,z} f(w,x) + g(x,y) + h(y,z) \]可以改寫為 分別最佳化的子問題 \[\mathop {\min }\limits_x \left[ {f(w,x) + \mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + \mathop {\min }\limits_z h(y,z)} \right]} \right]\]故我們可以先解最內部的最佳化問題並得到對應的最佳解 $z^*$ 與 最佳解對應的成本值 $h^*$ \[\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_z h(y,z): = {h^*}\left( y \right)\\ \arg \mathop {\min }\limits_z h(y,z): = {z^*}\left( y \right) \end{array} \right.\]接著我們求解第二部分的 最佳化的子問題 \[\mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]\]其對應的解 \[\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]: = {g^*}\left( x \right)\\ \arg \mathop {\min }\limits_y \left[ {g(x,y) + {h^*}\left( y \right)} \right]: = {y^*}\l

令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為函數， Definition:  我們說 $f$ 為單調遞增 (Monotone increasing) 若下列條件成立： 若 $x_1 < x_2$ 則 $f(x_1) \le f(x_2)$ 我們說 $f$ 為單調遞減 (Monotone decreasing) 若下列條件成立： 若 $x_1 > x_2$ 則 $f(x_1) \ge f(x_2)$ 我們稱 $f$ 為 單調 (Monotone) 若 $f$ 為單調遞增 或 單調遞減。 以下我們看兩個經典的例子： Example: 1. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = c$ 且  $c \in \mathbb{R}$ 則此常數函數 既為單調遞增 亦為 單調遞減。 2. 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 並非單調遞增或單調遞減。 但注意到若我們修正絕對值函數的定義域，比如說 令 $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ 滿足 $f(x) = |x|$ 則此絕對值函數 成為 單調遞增 (讀者可自行證明此性質在此不贅述)。 以下我們給出幾個單調函數重要的結果： =============== Fact: 1.  若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞增函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞增函數 2. 若 $f, g$ 為在區間 $I \subset \mathbb{R}$ 上的遞減函數，則 $f+g$ 亦為在 $I$上 遞減函數 =============== Proof:  我們只證明 (1)， (2) 留給讀者作為練習。 現在要證明  $f+g$ 在 $I$ 上遞增，故由定義出發，令 $x_1,x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$，則由於 $f, g$ 在區間 $I$ 上遞增，故我們有 \[ f(x_1) \le f(x_2) \]且 \[ g(x_1) \le g(x_2) \] 現在我們觀察其和，可知 \[ f(x_1) + g(x_1

一般若需要將控制系統透過 電腦 實現控制力 或者 對連續時間系統進行取樣，則我們稱此類系統為 電腦控制系統 或稱 數位控制系統。這次我們要介紹如何從連續時間模型 將其 透過適當的數學操作，從而獲得其對應的離散化的模型。 現在考慮有限維 線性非時變 連續時間狀態空間模型如下： \[\left\{ \begin{array}{l} \dot x\left( t \right) = A_cx\left( t \right) + B_cu\left( t \right);\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}x\left( 0 \right) = {x_0}\\ y\left( t \right) = C_c x\left( t \right) + D_cu\left( t \right) \end{array} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star) \]注意到上述狀態空間模型含有微分項 $\dot x$，若我們想要透過電腦實現微分方程，則我們需將其進行 離散化(Discretization) ， \[\dot x\left( t \right): = \mathop {\lim }\limits_{\Delta  \to 0} \frac{{x\left( {t + \Delta } \right) - x\left( t \right)}}{\Delta }\]則前述連續時間的狀態方程 $(\star)$ 可表為 \[\begin{array}{l} \dot x\left( t \right) = {A_c}x\left( t \right) + {B_c}u\left( t \right)\\  \Rightarrow x\left( {t + \Delta } \right) - x\left( t \right) = {A_c}x\left( t \right)\Delta  + {B_c}u\left( t \right)\Delta \\  \Rightarrow x\left( {t + \Delta } \right) = x\left( t \right) + {A_c}x\left( t \right)\Delta  + {B_c}u\lef