謝宗翰的隨筆

Again，這是這系列的第五篇，這次來看看一個稍微不一樣的例子 Example 1: Stochastic Exponential for Standard Brownian Motion 令 $\lambda \in \mathbb{R}$，考慮如下 Stochastic Process: \[ X_t = 1 + \lambda \int_0^t X_s dB_s \ \ \ \ (*) \]試求解上式。 Comment: 回憶在微分方程， \[ g(t) = 1 + \lambda \int_0^t g(s) ds \]我們有 Unique 的解且具備 Exponential 形式： $g(t) := e^{\lambda t}$ 。故可以想見式 $(*)$ 應該也有此 Exponential 的解的樣子。 Solution 首先將 $(*)$ 改寫成微分形式： \[\begin{array}{l} {X_t} = 1 + \lambda \int_0^t {{X_s}} d{B_s}\\  \Rightarrow d{X_t} = \lambda {X_t}d{B_t} \end{array} \] 這邊我們直接求解 (這邊略過此SDE的 唯一性 與 存在性 檢驗，直接求解。)  進一步改寫 $d{X_t} - \lambda {X_t}d{B_t} = 0$ 並且定義積分因子 (透過一點 trial and error)： \[{U_t}: = {e^{ - \lambda \int_0^t {d{B_s}}  + \frac{1}{2}{\lambda ^2}t}} = {e^{ - \lambda {B_t} + \frac{1}{2}{\lambda ^2}t}} \]利用 Integration by part (Product rule) 計算 $d(X_t U_t)$： \[  d\left( {{X_t}{U_t}} \right) = {X_t}d\left( {{U_t}} \right) + {U_t}d\left( {{X_t}} \right) + d\left\langle {{U_t},{X_t}} \right\rangle  \ \ \ \ (\star) \]其中 \[