謝宗翰的隨筆

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 關於 債卷投資組合的管理 的一些專有名詞 利率風險 與 債卷 的 存續期間(Duration) -Percentage spread: $$Percentage\; Spread := \frac{Ask - Bid}{(Bid + Ask)/2}$$ 1. Macaulay's 存續期間 ( Macaulay’s duration, $D$) 一種對債卷有效到期日的衡量， A measure of the effective maturity of a bond, defined as the weighted average of the times until each payment, with weights proportional to the present value of the payment, -存續時間越長 對 利率波動越為敏感 $$\frac{dP}{P} = -D \frac{d(1+r)}{1+r}$$-對於 zero-coupon bond 存續期間 = 到期時間 2. 修正型 存續時間 ( Modified duration, $D^*$) Macaulay’s duration divided by 1+yield to maturity. Measures interest rate sensitivity of bond. $$\frac{dP}{P} = -D^* dr$$ 債卷價格對市場利率變動的敏感性 受 到期時間 影響 受 息票利率 影響 受 到期收益率 影響 3. Immunization 透過調整存續時間來使資產淨值  免受市場利率波動  影響的策略 A strategy to shield net worth from interest rate movements (avoid risk). 4. Rebalancing 根據需要對組合中的資產比例進行調整來實現存續時間與債務之間的(免疫)平衡。 Realigning the proportions of assets in a portfolio as needed. 5. 現金流匹配

這次要與大家介紹 變分法(Variational Calculus) ，在一般傳統數學分析求極值時，微積分 (Calculus)處理的對象為函數 (Function)的極值問題，而變分法 (Variational Calculus) 所處理的對象為泛函 (Functional) 的極值問題。 所謂泛函通常是指一種 domain 為函數空間(亦即無窮維的向量空間)，而 codmain 為實數 或者 Euclidean 空間的 函數。簡而言之，泛函可視為 函數的函數。 我們給出泛函定義如下： ================== Definition: Functional 令 $X$ 為任意 Vector Space，我們稱函數 $J: X \to \mathbb{R}$ 為一個 泛函 (Functional) ================== Comments: 考慮 $X, Y$ 為 Vector Space，則 1. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}$ 為泛函 2. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ 為泛函 3. $ g: X \rightarrow Y$ :此稱為 operator 不稱為泛函 以下我們給出幾個 functional 例子： Examples of Functional 0. 給定 $X$ 任意 賦範空間，則對任意 $x \in X$，定義 $f(x):=||x||$ 為一個 functional。 1.考慮 $y(x)$ 為定義在 $[a,b]$上 一階連續可微函數，則下式 \[ J[y] = \int_a^b y'^2(x)dx \] 為一個 Functional 2. 考慮一平面上任兩點 $A,B$ ，現在假設有一 質點(particle) 具有固定速度 $v$ ，且此 質點 可以沿著任意平面上任意路徑從 $A$ 移動到 $B$，則如果想描述此質點 花多少時間來通過上述的(任意)路徑，則描述結果會是用一個積分 以 Functional  來表示。 3. 令 $F(\alpha, \beta, \gamma)$ 為三變數的連續函數，則下式 \[ J[y] = \int_a^b F[x,y(x),y'