回憶先前我們曾定義對於 (nonrandom) simple function 的 Wiener integral,亦即對時間 $t$ 做有限個數區間內做分割 且對 $t_i < t \le t_{i+1}$, $g(\tau) = g_i$,反之則 $g(\tau) = 0$。 則我們定義 Wiener integral 為 \[\int_0^\infty {g\left( \tau \right)d{W_\tau }} : = \sum\limits_i^{} {{g_i}\left( {{W_{{t_{i + 1}}}} - {W_{{t_i}}}} \right)} \]且由於此積分為對一組 independent, zero mean Gaussian random variable 做 summation,故此積分必為 zero mean Gaussian random variable 且 variance 為 \[E\left[ {{{\left( {\int_0^\infty {g\left( \tau \right)d{W_\tau }} } \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}\sum\limits_i^{} {{g_i}^2\left( {{t_{i + 1}} - {t_i}} \right)} = {\sigma ^2}\int_0^\infty {{g^2}\left( \tau \right)d\tau } \] 現在我們要拓展 Wiener integral 到對任意函數 $g$ 。為了拓展到更廣的函數 $g$ 需要一些限制,我們要求 $g$ 必須滿足平方可積條件亦即 \[ \int_0^\infty g^2(\tau) d\tau < \infty \] 現在我們看個結果: =================== FACT: (Dense property) 若 $g$ 為平方可積 (亦即 $\int_0^\infty g^2(\tau) d\tau < \infty$),則必定存在一 piecewise-constant 函數 sequence $g_n$ 且此 $g_n \rightarrow g$ in $L^2$ \[\matho
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya