令 $V$ 為 $n$ 維向量空間,則我們知道 $V$ 有基底 (basis) $S$ 且其元素為 $n$ 維向量。現在我們定義 $S :=\{{\bf v}_1,...{\bf v}_n\}$ 為向量空間 $V$ 的一組有序基底 (ordered basis) 則任意向量 ${\bf v} \in V$ 可由上述有序基底唯一表示成以下的線性組合形式: \[ {\bf v} = a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf v}_2 + ... + a_n {\bf v}_n \]其中 $a_1,...a_n \in \mathbb{R}^1$ Definition: Coordinate Vector 定義 ${\bf v}$ 對應於有序基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector) 為 \[{[{\bf{v}}]_S}: = \left[ \begin{array}{l} {a_1}\\ {a_2}\\ \vdots \\ {a_n} \end{array} \right]\] 且其中 $[{\bf v}]_S$ 的元素 $a_i$ 稱之為 ${\bf v}$ 對應於有序基底的座標。 Example 1: 考慮向量空間 \[ V:= P_2 := \{p(t) = a_2t^2 + a_1t + a_0: a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}^2\} \]且令基底 $S= \{t^2, t, 1\}$ 現考慮 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$ 求 $[{\bf v}]_S = ?$ Solution 注意到 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$,暫稱此式為 $(*)$ 又因為 ${\bf v} \in V$ 故由 $\bf v$ 可由 $S$ 的有序基底 $\{ t^2, t,1\}$ 透過線性組合唯一表示:也就是說 \[{\bf{v}} = p\left( t \right) \in {P_2} \Leftrightarrow {\bf v} = {a_2}{t^2} + {a_1}t + {a_0} \;\;\;\;\; (\star) \]
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya