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[線性代數] $A^2 = I \implies A=I?$

考慮以下問題 令 $A$ 為 任意 $n \times n$ 矩陣,試問下列陳述是否正確 Claim: $ A^2 = I  $則 $A = I$? 讀者可能注意到 $A^2 = AA = I$ 表示我們有 \[ A= A^{-1} \]故上述陳述看來頗為誘人讓人想回答 True 但事實上此陳述為錯誤陳述,因為若我們考慮 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\]則 \[ A^2 = I_{2 \times 2} \]但 $A \neq I_{2 \times 2}$

[線性代數] 線性算子 與 特徵值/特徵向量(1) - 線性算子的矩陣代表 所表示的等價特徵問題

令 $V$ 為有限維度向量空間配備基底 $S=\{{\bf s}_1,{\bf s}_2,...,{\bf s}_n\}$ 且 $L: V \to V$ 為線性算子,則必存在唯一 的 一個 對應於基底 $S$ 的 $n \times n$ 矩陣代表 $A$  來 表示 $L$ (我們稱此矩陣代表 $A$ 為  representation of $L$ with respect to $S$) 使得 對任意 ${\bf x} \in V$ 我們有 \[ [L({\bf x})]_S = A [{\bf x}]_S \;\;\;\;\; (\star) \]其中 $[{\bf x}]_S$ 表示 ${\bf x}$基於 基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector),亦即 若\[{[{\bf{x}}]_S} = \left[ \begin{array}{l} {a_1}\\ {a_2}\\  \vdots \\ {a_n} \end{array} \right] \Leftrightarrow {\bf{x}} = {a_1}{{\bf{s}}_1} + {a_2}{{\bf{s}}_2} + ... + {a_n}{{\bf{s}}_n}\] 現在我們回憶原本 定義在 線性算子 $L$ 之上的特徵問題:亦即我們要 找出一組 特徵值 $\lambda$ 與其對應的 特徵向量 ${\bf x} \neq {\bf 0}$ 且 ${\bf x} \in V$ 滿足 \[ L({\bf x}) = \lambda {\bf x}\;\;\;\;\; (*) \] 觀察 $(\star)$ 式,我們可得到透過 $A$ 矩陣所描述的等價特徵問題如下 \[\begin{array}{l} {[L({\bf{x}})]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\  \Rightarrow {[\lambda {\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\  \Rightarrow \lambda {[{\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\; \end{array} \]則我們的目標變成要找 一組 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \math

[線性代數] 線性算子 與 特徵值/特徵向量(0)

====================== Definition: Linear Operator 令 $V$ 為 $n$ 維 向量空間 且 $L: V \to V$ 為線性轉換 (Linear transformation):亦即給定任意兩向量 ${\bf u,v} \in V$ 與 $c \in \mathbb{R}$ (or $c \in \mathbb{C}$)滿足 \[\begin{array}{l} L\left( {{\bf{u}} + {\bf{v}}} \right) = L\left( {\bf{u}} \right) + L\left( {\bf{v}} \right)\\ L\left( {c{\bf{u}}} \right) = cL\left( {\bf{u}} \right) \end{array}\]則我們稱該 $L:V \to V$ 為定義在 $V$ 上的線性算子 (Linear Operator) ====================== 那麼我們現在想問一個基本問題:是否可以找到 一組非零向量 ${\bf v} \neq {\bf 0}$ 與 純量 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \mathbb{C}$) 使得 \[ L({\bf v}) = \lambda{\bf v} \] 此問題在工程領域有諸多應用,一般而言上述問題又稱為特徵值問題。 Comments: 1. 上述討論中所提及的 Linear Operator 僅僅表示 domain 與 codomain 都為同一個向量空間 $V$,其餘皆與線性轉換定義相同。也就是說若我們將 domain $V$ 與 codomain $W$ 設為不同的向量空間,且若 $L: V \to W$ 滿足 \[\begin{array}{l} L\left( {{\bf{u}} + {\bf{v}}} \right) = L\left( {\bf{u}} \right) + L\left( {\bf{v}} \right)\\ L\left( {c{\bf{u}}} \right) = cL\left( {\bf{u}} \right) \end{array}\]則我們稱 $L$ 為線性轉換 (Linear Tr