令 $V$ 為有限維度向量空間配備基底 $S=\{{\bf s}_1,{\bf s}_2,...,{\bf s}_n\}$ 且 $L: V \to V$ 為線性算子,則必存在唯一 的 一個 對應於基底 $S$ 的 $n \times n$ 矩陣代表 $A$ 來 表示 $L$ (我們稱此矩陣代表 $A$ 為 representation of $L$ with respect to $S$) 使得 對任意 ${\bf x} \in V$ 我們有 \[ [L({\bf x})]_S = A [{\bf x}]_S \;\;\;\;\; (\star) \]其中 $[{\bf x}]_S$ 表示 ${\bf x}$基於 基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector),亦即 若\[{[{\bf{x}}]_S} = \left[ \begin{array}{l} {a_1}\\ {a_2}\\ \vdots \\ {a_n} \end{array} \right] \Leftrightarrow {\bf{x}} = {a_1}{{\bf{s}}_1} + {a_2}{{\bf{s}}_2} + ... + {a_n}{{\bf{s}}_n}\] 現在我們回憶原本 定義在 線性算子 $L$ 之上的特徵問題:亦即我們要 找出一組 特徵值 $\lambda$ 與其對應的 特徵向量 ${\bf x} \neq {\bf 0}$ 且 ${\bf x} \in V$ 滿足 \[ L({\bf x}) = \lambda {\bf x}\;\;\;\;\; (*) \] 觀察 $(\star)$ 式,我們可得到透過 $A$ 矩陣所描述的等價特徵問題如下 \[\begin{array}{l} {[L({\bf{x}})]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\ \Rightarrow {[\lambda {\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\ \Rightarrow \lambda {[{\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\; \end{array} \]則我們的目標變成要找 一組 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \math