考慮線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI)系統利用狀態空間表示: \[ {\bf \dot x} = A {\bf x} + B {\bf u} \] 回憶在大學部自動控制課程中,我們知道 LTI 系統穩定 的 充分必要條件 為系統矩陣 $A$ 之特徵值具有負實部 (或者等價論述為 極點 pole 落在 複數平面的左半面)。現在我們想問若 系統為 線性時變 (Linear Time-Varying, LTV)系統是否此條件依然成立? 答案是否定的,以下為一個極為出色的反例:考慮線性時變系統 ${\bf \dot x} = A(t) {\bf x} $ 其中 \[A\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{e^{2t}}}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right] \] 且給定初始狀態為 $x_1(0) = x_2(0)=1$ 則由於此系統 $A(t)$ 矩陣為三角矩陣,其特徵值為對角線元素,亦即 $\lambda_{1,2} = -1$,具有負實部。然而,若我們求解此 LTV 系統,亦即觀察 \[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{e^{2t}}}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right)\\ {x_2}\left( t \right) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - {x_1}\left( t \right) + {e^{2t}}{x_2}\left( t \right)\\ - {x_2}\left( t \right) \end{array} \right]\]故我們可首先解得 \[\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_2}\left( t \right) = - {x_2}\left( t \right)}\\ \begin{arra
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya