2016年9月2日 星期五

[投資組合理論] 投資組合的 期望報酬 與 風險變異

投資組合(Portfolio)的報酬
考慮投資人手邊持有 $n$ 個資產 且每組資產對應的 (隨機)報酬率 為 $r_1,r_2,...,r_n$ 且對於 $i=1,2,...,n$ 我們定義 $r_i$ 的期望報酬 為 $E[r_i] \doteq \bar{r}_i$ ,現在投資人欲使用此 $n$ 個資產來 建構 合適的投資組合如下: 針對每一個資產,投資人將指派對應的 (確定)權重 (weights),亦即 對 $i=1,...,n$ 我們指派 $w_i$ 作為第 $i$ 個資產的權重,且我們要求權重須滿足 Self-finacing 條件,亦即:$$
\sum_{i=1}^n w_i =1
$$則投資人 整體投資組合 的報酬 我們記作 $r$ 可由下式表示
\[
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
\]則我們稱此投資組合為 $n$ 資產投資組合,且 $r$ 稱為 $n$ 資產投資組合的報酬率。那麼由於 $r_i$ 為 隨機,致使 $r$ 亦為隨機,故我們希望可以透過一些統計量幫助我們描述此 隨機的報酬率,一般而言,在投資組合理論裡面最常用的兩個統計量即為 期望值 與 變異數,( 一/二階動差) 來計算 投資組合的 期望報酬 與 風險變異。

Comments:
1. 在一般投資組合理論中,風險(Risk) 一般用 變異數(Variance) 來描述。但讀者應注意到變異數並非唯一的 風險可能描述,在較為進階的投資理論中還會提到其他用來描述 風險 的變量,比如說 絕對最大跌幅 (Absolute Maximum Drawdown),百分比最大跌幅 (Percentage Maximum Drawdown),風險價值 (Value of Risk, VaR) 或者 條件風險價值 (Conditional Value of Risk, CVaR)等等。

2. 有部分投資理論採用 變異數的平方根 (也就是 標準差 Standard Devision) 來定義 風險。為了區別起見,我們不稱其為"變異"


以下定理首先給出期望報酬率的結果

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Theorem 1: 
上述 $n$資產的投資組合的期望報酬為
\[
E\left[ r \right] =\sum\limits_{i = 1}^n {w_i} \bar{r}_i
\]======================================

Proof:
回憶投資組合的報酬率為
$$
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
$$ 現在對 $r$ 取期望值,利用期望值的線性性質可立刻得到
\begin{align*}
  E\left[ r \right] &= E\left[ {{w_1}{r_1} + {w_2}{r_2} +  \cdots  + {w_n}{r_n}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{w_1}{r_1}} \right] + E\left[ {{w_2}{r_2}} \right] +  \cdots  + E\left[ {{w_n}{r_n}} \right] \hfill \\
   &= {w_1}E\left[ {{r_1}} \right] + {w_2}E\left[ {{r_2}} \right] +  \cdots  + {w_n}E\left[ {{r_n}} \right] \hfill \\
&=\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]} \hfill \\
&=\sum\limits_{i = 1}^n {w_i} \bar{r}_i\;\;\;\;\; \square
\end{align*}

接著讓我們計算投資組合的 風險變異 :令 $\sigma_i^2$ 表示第 $i$ 組資產的風險變異,且定義 $\sigma$ 表示整體投資組合的風險變異,且 $\sigma_{ij}$ 用以表示 第 $i$ 與 第 $j$ 組資產之間 ($i \neq j$)的共同風險變異 (covariance) ,另外我們註記 $\sigma_{ii} = \sigma_i^2$。有了以上的符號,我們現在給出以下結果:
======================================
Theorem 2: 上述 $n$ 資產投資組合的風險變異 為
\[
\sigma = \sum_{i,j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij}
\]======================================

Proof:
開始計算投資組合的風險變異 $\sigma$ 如下
\begin{align*}
  {\sigma ^2} &: = E\left[ {{{\left( {r - E[r]} \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{r_i}}  - \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{r_i}}  - \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{{\bar r}_i}} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{w_i}{r_i} - {w_i}{{\bar r}_i}} \right)} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{w_j}\left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} } \right)} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)} \left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} \right] \hfill \\
  & = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}E\left[ {\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)\left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} \right]}  \hfill \\
   &= \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}{\sigma _{ij}}} \;\;\;\; \square
\end{align*}


以下我們看個 兩資產 的非常簡單的例子

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Example:
考慮投資人手上有 頻果公司股票 與  政府債卷 兩種資產,且假設此投資人做了非常完整的調查,並且計算出
  • 頻果公司股票的 期望報酬 與 風險變異 分別為 $\bar{r}_1 := 0.10$ 與 $\sigma_1^2 = 0.3$ 
  • 政府債卷的 期望報酬 與 風險變異 分別為 $\bar{r}_2 := 0.01$ 與 $\sigma_2 := 0.1$ 
且更進一步假設頻果公司股票 與 政府債卷的共變異為 $\sigma_{12} = \sigma_{21} =0.05$。若投資人考慮將對頻果公司投入 $60\%$資產且 政府債卷為 $40\%$資產,亦即 $w_1 =0.6$ 與 $w_2 =0.4$,

(a) 試求 此投資組合的期望報酬
(b) 試求此投資組合的風險變異
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Solution (a)
由前述第一定理,可知期望報酬
\begin{align*}
  E\left[ r \right] &= \sum\limits_{i = 1}^2 {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]}  \hfill \\
   &= {w_1}E\left[ {{r_1}} \right] + {w_2}E\left[ {{r_2}} \right] \hfill \\
   &= \left( {0.6} \right)\left( {0.1} \right) + \left( {0.4} \right)\left( {0.01} \right) = 0.064 \hfill \\
\end{align*}
Solution(b)
由前述第二定理,可知風險變異
\begin{align*}
  {\sigma ^2} &= \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}{\sigma _{ij}}}  \hfill \\
   &= {w_1}{w_1}{\sigma _{11}} + {w_1}{w_2}{\sigma _{12}} + {w_2}{w_1}{\sigma _{21}} + {w_2}{w_2}{\sigma _{22}} \hfill \\
   &= w_1^2\sigma _1^2 + 2{w_1}{w_2}{\sigma _{12}} + w_2^2\sigma _2^2 \hfill \\
   &= {\left( {0.6} \right)^2}\left( {0.3} \right) + 2\left( {0.6} \right)\left( {0.4} \right)\left( {0.01} \right) + {\left( {0.4} \right)^2}\left( {0.01} \right) \hfill \\
   &= 0.1336 \;\;\;\;\; \square
\end{align*}

Comments: 在實務上,以上述例子為例,若反過來給定 期望報酬 與 風險變異,則可反求 投資組合的權重 $w$,一般稱之為 資產配置 (asset allocation)

2016年9月1日 星期四

[投資理論] 內部收益率 與 其存在性

首先給出內部收益率 (又稱 內部報酬率) 的定義:

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Definition: Internal Rate of Return (IRR)
給定 現金流 $(x_0,x_1,...,x_n)$ ,則我們稱其對應的 內部收益率(Internal Rate of Return, IRR) 為一實數 $r > -1 $ 滿足
\[0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} +  \cdots  + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}
\]==============================

以下我們看個關於 IRR的例子:假設初始現金流 $x_0$ 支出 1 元做某項投資,並且陸續將三年的報酬記錄如下:
  • 該投資第一年所獲得的現金流報酬 $x_1$ 為 $1$元,
  • 該投資第二年所獲得的現金流報酬 $x_2$ 為 $1$元,
  • 該投資第三年所獲得的現金流報酬 $x_3$為 $0$元,
則我們可以將上述投資的現金流簡記為 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 下面例子可以讓讀者練習計算 IRR

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Example: 給定現金流 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 試求 內部收益率 $r=?$
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ANS:
由 IRR 定義
\begin{align*}
 & 0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
 &  \Rightarrow 0 =  - 1 + \frac{1}{{1 + r}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{0}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
  & \Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = r + 2 \hfill \\
  & \Rightarrow {r^2} + r - 1 = 0 \hfill \\
\end{align*}故可解得兩根 $r_1 \approx 0.61803$ 或者 $r_2 \approx -1.6180$,但由定義可知我們要求 內部收益率必須滿足 $r>-1$ 故
\[
r = r_1 \approx 0.618\;\;\;\;\; \square
\]


Comments:
1. 內部收益率本質為利率
2. 內部收益率之所以被稱為 "內部" 主因是因為 此 收益率 (利率) 僅僅由現金流所推定。
3.對於上述多項式方程,令
\[
c:=\frac{1}{1+r}
\]則我們可得到更為簡潔的多項式如下
\[
x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]
由於 IRR 要求求解 $n$ 階多項式,我們必須先解決 解的存在性問題:下面的定理將告訴我們何時解存在。

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Main Theorem of Internal Rate of Return: 
令現金流 $(x_0, x_1,...,x_n)$ 滿足 $x_0 <0$ 且對於 $k=1,2,...,n$而言, $x_k \geq 0 $ 且至少有一項 $x_j >0$ ,則對於下列方程
\[
0 = x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]存在唯一正實數解 $c_0$
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Proof:
$$
f(c) :=x_0+x_1 c+x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
$$ 為一 以 $c$ 為變數的 $n$ 次多項式函數,我們要證明 $f$ 有唯一正實數解。

我們首先證明解的存在性:由於 $f$ 為多項式函數,故立即知道 $f$ 為對 參數 $c$ 連續。另外我們觀察
\[
f(0) = x_0 <0
\] 且由於至少現金流中至少有一項 $x_j >0$,故若對 $f$ 取導數可得
$$
f'(c) = x_1 + 2x_2 c + \cdots + j x_j c^{j-1} +\cdots+nx_n c^{n-1} > 0
$$亦即我們知道 $f(c)$ 為對 $c$ 嚴格遞增,現在利用 連續函數中間值定理(Intermediate Value Theorem) 可知,必存在一解 $c_0$ 使得 $f(c_0) =0$ 。

接著我們證明 $c_0$ 解 為唯一:
利用 $f$ 的遞增性質,可推知此 $c_0$ 為唯一 (因為遞增故不存在 $c_2$ 使得 再次又交會於零,亦即 不存在另外一點 使得 $f(c_2) =0$)。

最後我們證明 $c_0 >0$
回憶因為 $f(0) <0$ 且 $f$ 遞增,故所求之解 $c_0$ 必為正數。 $\square$


Comment:
1. 有時候在求解上述 $n$ 次多項式的時候 可能我們會解出 複數根 (complex roots) 的情況,此時一般而言我們通常選具有最大實部的複數根作為我們的解。

2. 內部收益率是非常有用的工具,撇除上述的理論部分,其計算上其實非常容易,市面上的軟體諸如 Microsoft Excel 或者免費的 Google Sheets 都可以幫助我們快速計算 IRR,以下我們使用前述的 IRR 來給出一個 計算退休的投資計畫的例子:

Example: 
考慮某投資人剛找到工作,手邊身無分文,但他預計 30 年後要退休,且這名投資人樂觀的預計這三十年中,他可以省吃儉用每年投資固定 10萬元來儲備其退休金,並且我們假設他 $30$ 年所需要的退休金 為 3000 萬元,則我們有
\[
$(x_1,x_2,x_3, ...., x_{30}, U ) = (-10,-10,-10,...,-10, 3000)$
\] 我們想問如果投資人想建構某投資計畫,則該投資計畫之每年的報酬率要達到多少才可能達成上述的退休計畫呢?

NOTE: 注意到此例並不滿足 IRR 存在且唯一 定理的充分條件。(因為 $x_2...,x_{30} <0$)

但我們仍然能用數值逼近的方式計算 IRR ,以下我們用 Google Sheets 來實現上述的範例,首先建構下表



接著我們利用 函數 $irr(B2:B32)$ (公式我輸入在上表中的 $C32$位置) 即可立刻計算每年所需的投資報酬率,在此例中為 $12.5133\%$。也就是說如果我們採用每年投資 10萬元,三十年後要達到 3000萬退休金的每年投資報酬率必須要有 $12.5133\%$,

[MATLAB] 如何使用 Latex 數學符號來標示圖形的 x,y 軸

一般在 MATLAB 使用圖形常會加入 x,y 軸來幫助讀者了解圖形內容,有時候我們想要在 x-label 顯示 數學式子來使其更為簡潔:比如說我想要在 x-軸加入 $\hat{K}$ 則只要在 MATLAB 中使用以下指令即可:

xlabel('$$\hat{K}$$','Interpreter','Latex')
注意到上述指令中, "$$...$$" 符號用來告知 MATLAB 我們要使用 Latex 語法,下圖為執行上述指令 x-label 後,在圖形上顯示的樣子:


更為進階的 latex語法也完全支援:

xlabel('$$\hat{K}, \tilde{x}, \int_\mathcal{X} f_X(x)dx$$','Interpreter','Latex')
上述指令執行後結果如下圖: