2016年11月30日 星期三

[投資理論] 股價動態模型(1) - 離散時間乘法模型

此文我們將討論離散時間股價較為合宜的動態模型:令 $k=0,1,2,...,N-1$ 且 $S(k) >0$ 為時刻 $k$ 之股價 且 $S(0)$ 已知常數,現在考慮股價服從以下 乘法模型
\[
S(k+1) = u(k) S(k) \;\;\;\; (*)
\] 其中  $u(k)$ 為  mutually independent 隨機變數 (代表時刻 $k$ 到 $k+1$ 股價的相對變化,亦即 $u(k) = S(k+1)/S(k)$)。現在對上述乘法模型等號兩邊取對數
\begin{align*}
  \ln S(k + 1) &= \ln \left( {u(k)S(k)} \right) \hfill \\
  & = \ln u(k) + \ln \left( {S(k)} \right)
\end{align*}
上述等號對 $k=0,1,2...,N-1$ 皆成立。

Comments:
1. 上述乘法模型中的 $u(k)$ 導致下一時刻的股價產生隨機波動,此結果在一般經濟學中稱為 價格衝擊 (shocks) 在控制理論中被稱為 干擾 (disturbances) 。
2. 上述乘法模型為股價離散時間標準模型,若我們考慮上述 $k=0,1,...,N$ 發生在 時間範圍 $\Delta t$ 之間,則讓 $N \to \infty$ 我們可以近似 股價連續時間的標準模型,也就是 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion),但此非本文重點在此不做贅述,有興趣的讀者可以參閱本 BLOG其他相關幾何布朗運動的文章。



對數常態分布的股價 (Log-normal Price)
現在對  $k=0,1,2...,N-1$ ,定義 $w(k):= \ln u(k)$ 且我們指定 $w(k)$ 服從具有 $E[w(k)] = \mu$ 與變異數 $Var(w(k)) = \sigma^2$ 的常態分佈 且 $w(k)$ mutually independent 。

Comments:
由於 $w(k):= \ln u(k)$,我們有 $u(k) = exp(w(k))$ 且 由於 $w(k) \sim N(\mu, \sigma^2)$ 故 $u(k)$ 為 log-normal 隨機變數 (亦即 取 log 之後為常態分配) 。


由乘法模型,不難得知
\[\ln S(k) = \ln \left[ {u(k - 1)u(k - 2) \cdots u\left( 0 \right)S(0)} \right]
\]故若對等號兩邊同取 log可知
\begin{align*}
  \ln S(k) &= \ln S\left( 0 \right) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\ln u(i)}  \hfill \\
   &= \ln S\left( 0 \right) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {w(i)}  \hfill \\
\end{align*}
注意到 $\ln S(0)$ 為已知常數,且 $w(i)$ 為 mutually independent 的常態分佈隨機變數 滿足 期望值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$,故由大學部機率論可知, $\sum_{i=0}^{k-1} w(i)$ 亦為常態隨機變數且其期望值為 $k \mu$ 變異數為 $k \sigma^2$,亦即
\[\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {w(i)} \sim N\left( {k\mu ,k{\sigma ^2}} \right)\]
又因為 $\ln S(0)$ 為已知常數,故 $\ln S(k)$ 亦為常態分佈滿足
\[\ln S(k)\sim N\left( {\ln S\left( 0 \right) + k\mu ,k{\sigma ^2}} \right)\]

Comments
一般在實務上的角度,真實股價 的確反映了 lognormal 分佈的行為但在分佈的兩端會有較大的不一致性,這種性質稱之為 skewness,在此不贅述。讀者可以自行任取市面上的股價進行驗證。

2016年11月21日 星期一

[查經] 財富從何而來?


得 貨財 的能力從何而來?
申命記 8:17 - 18
恐怕你心裡說:『這貨財是我力量,我能力得來的。』
你要記念耶和華你的神,因為得貨財的力量是他給你的,為要堅定他向你列祖起誓所立的約,像今日一樣。

雅各書 4:13-15
你們有話說:「今天、明天我們要往某城裡去,在那裡住一年,做買賣得利。」
其實明天如何,你們還不知道。你們的生命是什麼呢?你們原來是一片雲霧,出現少時就不見了。 你們只當說:「主若願意,我們就可以活著,也可以做這事或做那事。」 

省思:上面的經文告訴我們,“得貨財的力量是神所賜的”,所以作為一個基督徒應當相信:賺錢的能力,生活的環境,自身的智慧與機會,以及身體健康 都來自上帝。主若願意,我們就可以做成這事或者那事。



財富是我們的倚靠嗎?

詩篇 52:7
說:「看哪!這就是那不以神為他力量的人,只倚仗他豐富的財物,在邪惡上堅立自己。」

箴言 11:28
倚仗自己財物的必跌倒,義人必發旺如青葉。

提摩太前書 6:17
你要囑咐那些今世富足的人,不要自高,也不要倚靠無定的錢財,只要倚靠那厚賜百物給我們享受的神。


積存資財的隱藏的禍患是什麼?
傳道書5:13-14
我見日光之下有一宗大禍患,就是財主積存資財反害自己。

何西阿書 13:6
這些民照我所賜的食物得了飽足,既得飽足,心就高傲,忘記了我。

省思:上面的經節提及了財主 積存資財 是一大禍患。基督徒可以發財,但不可貪財,總要認真盡自己本分做好工作,那麼自然有錢



貪求急速發財的有什麼後果

箴言28:20
誠實人必多得福,想要急速發財的不免受罰

箴言28:22
人有惡眼想要急速發財,卻不知窮乏必臨到他身

提前6:9 
但那些想要發財的人,就陷在迷惑,落在網羅和許多無知有害的私慾裡,叫人沉在敗壞和滅亡中




貪愛錢財的禍患

來13:5 
你們存心不可貪愛錢財,要以自己所有的為足:因為主曾說:我總不撇下你,也不丟棄你

提前6:10 
貪財是萬惡之根,有人貪戀錢財,就被引誘離了真道,用許多愁苦把自己刺透了。

箴1:19 
凡貪戀財利的,所行之路都是如此;這貪戀之心乃奪去得財者之命。

詩10:3 
因為惡人以心願自誇;貪財的背棄耶和華,並且輕慢他


省思:聖經的本質:上帝多給誰,就跟誰多收。可以問問自己是否能做到沒錢時能感謝,有錢時也能感謝。一天到晚想著賺錢,貪財必敗壞基督徒要自己讀聖經,才能分辨



資財的作用

傳5:19 
神賜人資財豐富,使他能以吃用,能取自己的分,在他勞碌中喜樂,這乃是神的恩賜。


省思:我要如何好好做自己本分?神自然賜福。你若有確定是上帝的帶領,就不必看數字
注意到上述經文中所說的是 "勞碌中喜樂"而非 "不用做工就喜樂..."



得貨財的正確與錯誤方式是什麼?

箴13:11 
不勞而得之財必然消耗;勤勞積蓄的,必見加增。

耶17:11 
那不按正道得財的,好像鷓鴣菢不是自己下的蛋;到了中年,那財都必離開他,他終久成為愚頑人。

箴10:4 
手懶的,要受貧窮;手勤的,卻要富足。

哈2:9 
為本家積蓄不義之財、在高處搭窩、指望免災的有禍了!
如果沒有貨才怎麼辦?

箴15:16 
少有財寶,敬畏耶和華,強如多有財寶,煩亂不安。

箴22:4 
敬畏耶和華心存謙卑,就得富有、尊榮、生命為賞賜。

箴23:4 
不要勞碌求富,休仗自己的聰明。



判斷是否為神所賜的福?

箴10:22 
耶和華所賜的福使人富足,並不加上憂慮。



專心追求貨財是正確的嗎?

箴23:5 
你豈要定睛在虛無的錢財上嗎?因錢財必長翅膀,如鷹向天飛去。

箴27:24 
因為資財不能永有,冠冕豈能存到萬代?

提前6:9 
但那些想要發財的人,就陷在迷惑、落在網羅和許多無知有害的私慾裡,叫人沉在敗壞和滅亡中。

太6:19-21 
不要為自己積儹財寶在地上;地上有蟲子咬,能銹壞,也有賊挖窟窿來偷。只要積儹財寶在天上;天上沒有蟲子咬,不能銹壞,也沒有賊挖窟窿來偷。因為你的財寶在哪裡,你的心也在那裡。

太6:24 
一個人不能事奉兩個主;不是惡這個,愛那個,就是重這個,輕那個。你們不能又事奉神,又事奉瑪門(瑪門:財利的意思)。

路12:16-19 
就用比喻對他們說:有一個財主田產豐盛;又說:我要這麼辦:要把我的倉房拆了,另蓋更大的,在那裡好收藏我一切的糧食和財物, 然後要對我的靈魂說:靈魂哪,你有許多財物積存,可作多年的費用,只管安安逸逸的吃喝快樂吧!


路12:21 
凡為自己積財,在神面前卻不富足的,也是這樣。


路12:33-34
你們要變賣所有的賙濟人,為自己預備永不壞的錢囊,用不盡的財寶在天上,就是賊不能近、蟲不能蛀的地方。


什麼使人孤單?

傳4:8 
有人孤單無二,無子無兄,竟勞碌不息,眼目也不以錢財為足。他說:我勞勞碌碌,刻苦自己,不享福樂,到底是為誰呢?這也是虛空,是極重的勞苦。



為何基督徒要奉獻?

代上29:14 
我算什麼,我的民算什麼竟能如此樂意奉獻?因為萬物都從你而來,我們把從你而得的獻給你。

申命 14:22-23:
你要把你撒種所產的,就是你田地每年所出的,十分取一分:又要把你的五穀,新酒,和油的十分之一,並牛群羊群中頭生的,吃在耶和華--你 神的面前,就是他所選擇要立為他名的居所。這樣,你可以學習時常敬畏耶和華---你的 神

瑪拉基書 3:8 - 10
人豈可奪取神之物呢?你們竟奪取我的供物。你們卻說:我們在何事上奪取你的供物呢?就是你們在當納的十分之一和當獻的供物上。因你們通國的人都奪取我的供物,咒詛就臨到你們身上。萬軍之耶和華說:你們要將當納的十分之一全然送入倉庫,使我家有糧,以此試試我,是否為你們敞開天上的窗戶,傾福與你們,甚至無處可容。

省思:奉獻的目的在於 學習時常敬畏 耶和華,因為 財貨從神而來的。


除了奉獻之外?
來13:16
只是不可忘記行善和捐輸的事,因為這樣的祭是神所喜悅的。

林後6:10 
似乎憂愁,卻是常常快樂的;似乎貧窮,卻是叫許多人富足的;似乎一無所有,卻是樣樣都有的。


除了財貨之外
箴19:14 房屋錢財是祖宗所遺留的;惟有賢慧的妻是耶和華所賜的。

耶9:23 耶和華如此說:智慧人不要因他的智慧誇口,勇士不要因他的勇力誇口,財主不要因他的財物誇口。


結語:上帝給我們多少就好好管理,並且誠實奉獻,一生當跑的路上要追求的是 好好做上帝的工,好好照顧家庭/妻小,好好關心別人。


其他的勸勉

提前3:2-3 因為那時人要專顧自己、貪愛錢財、自誇、狂傲、謗讟、違背父母、忘恩負義、心不聖潔、不因酒滋事,不打人,只要溫和,不爭競,不貪財;

提前3:8 作執事的,也是如此:必須端莊,不一口兩舌,不好喝酒,不貪不義之財;

提前6:10 貪財是萬惡之根。有人貪戀錢財,就被引誘離了真道,用許多愁苦把自己刺透了。


多1:7
監督既是神的管家,必須無可指責,不任性,不暴躁,不因酒滋事,不打人,不貪無義之財;

多1:11 這些人的口總要堵住。他們因貪不義之財,將不該教導的教導人,敗壞人的全家。

來13:5 
你們存心不可貪愛錢財,要以自己所有的為足;因為主曾說:我總不撇下你,也不丟棄你。

雅5:3 
你們的金銀都長了銹;那銹要證明你們的不是,又要吃你們的肉,如同火燒。你們在這末世只知積儹錢財。

彼前5:2 
務要牧養在你們中間神的群羊,按著神旨意照管他們;不是出於勉強,乃是出於甘心;也不是因為貪財,乃是出於樂意;

約一3:17 
凡有世上財物的,看見弟兄窮乏,卻塞住憐恤的心,愛神的心怎能存在他裡面呢?