謝宗翰的隨筆

回憶一般 弦波訊號 \[ z(t) = A \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = Re\{A e^{j (2 \pi f_0 t + \phi)}\} \]其中 $A$ 為振幅 ，$f_0$ 為頻率，$\phi$ 為相位。由上式，我們可以定義 $z(t)$ 的 "角度" 記作 \[ \psi(t) := 2 \pi f_0 t + \phi \]由於上式為 linear in $t$ ，我們可觀察 \[ \frac{d}{dt} \psi(t) = 2 \pi f_0 := \omega_i(t) \] 故 $z(t)$ 的角度 隨時間的瞬時變化率 為 $2 \pi f_0$  其單位為 (rad/s) ，若我們將其除掉 $2\pi$ 即可得到 (瞬時)頻率 $f_0$ (單位為 Hz)。 上述想法可以被進一步推廣如下： Frequency Modulation (FM) Signal 現在我們將上述 $z(t)$ 做進一步簡單的推廣：假設 \[ x(t) := A \cos(\psi (t)) = Re\{e^{j \psi(t)}\} \]則我們可仿造前述的方法來定義 瞬時頻率 (instantaneous frequency)，亦即我們先對 $\psi(t)$ 對 $t$ 微分，可得瞬時角頻率 (instantaneous angular frequency) \[ \omega_i(t) :=  \frac{d}{dt} \psi(t) \]若對上式兩邊同除以 $2 \pi$ ，可得瞬時頻率 (instantaneous frequency)， 記作 $f_i(t)$， 如下 \[ f_i(t) :=\frac{1}{2\pi}\omega_i(t) =  \frac{1}{2 \pi} \frac{d}{dt} \psi(t) \]單位為 Hz。 以下我們看個 FM 調頻中的一類特殊例子，假設我們想要創造一組 弦波訊號 使其 頻率可以包含一段我們感興趣頻段，比如說我們想創造一組聲音其頻率 從 300 Hz 並且一路往上到 800 Hz，一種常見的做法是採用 chirp signal 來達成，其特性如下：給定初始頻率 $f_{int}$ 與 終點頻率 $f_{end}$，

回憶一般 弦波訊號 \[ x(t) := A \cos(2 \pi f_c t + \phi) \] 其中 $A$ 為振幅，$f_c$ 為 (載波) 頻率，$\phi$ 為相位。現在我們考慮將上述弦波做進一步簡單的推廣如下：假設 振幅 $A$ 不再是常數，而是隨時間變化的函數 比如 $A:=a(t)$ ，則我們得到\[ x(t) = a(t) \cos(2\pi f_c t +\phi) \] 上述稱為 振幅調變 (Amplitude Modulation) 的一般形式，其中 $a(t)$ 為 依時間變化的函數 且一般而言，假設 $a(t)$ 的最高頻率 $f_a << f_c$。 Comments: 1. 震幅 $a(t)$ 隨時間變化，可看成 振幅 被 "調變"(modulation) 2. 一般實際應用上， $a(t)$ 為多半為實際帶有信息的訊號 (比如 聲音，歌聲，影像...) 且其最高頻率會遠遠低於 載子頻率 $f_c$ ，使得我們在做 AM 處理之後，$a(t)$ 訊號可被方便傳送。 3. 當然，對於 $z(t)$ 的推廣不僅僅限於頻率，我們也可以對其頻率推廣，比如說將固定 $f_c$ 改成 $f_c:=\psi(t)$ 使其成為與時間有關的函數，此法會得到所謂的 頻率調變(Frequency Modulation, FM) 我們會另外再開一篇文章描述之，在此不做贅述。 以下我們看個經典的AM例子： AM Example: Beat Signal or Sinusoidal AM 以下我們看個特例：假設 $a(t) := A \cos(2 \pi f_a t)$ 則我們得到 AM 訊號如下 \[ x(t) = A \cos(2 \pi f_a t)  \cos(2\pi f_c t +\phi) \]上述訊號可以透過 Inverse Euler formula 將其改寫為 \begin{align*}   x(t) &= A\cos (2\pi {f_a}t)\cos (2\pi {f_c}t) \hfill \\    &= A \left( \frac{{{e^{j2\pi {f_a}t}} + {e^{ - j2\pi {f_a}t}}}}{2} \rig