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3/14/2015

[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory

延續前篇 [系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念,我們現在可以開始介紹 Lyapunov Stability Theory。

Definition: Lyapunov Function
一個函數 V:RnR0 被稱作為 Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A 若下列條件成立:
存在函數 α1(),α2(),α3()K 使得對任意 xRn
  1. V(x)α1(|x|A)
  2. V(x)α2(|x|A)
  3. V(f(x))V(x)α3(|x|A)

給定 A 為 closed positive invariant for x+=f(x)AX 我們說函數  V() 為 Lyapunov function in X for system x+=f(x) 與 集合 A 若下列條件成立:
對任意 xXV() 滿足上述三條不等式。

上述 Lyapunov function 與 globally asymptotically stable 息息相關,事實上此Lyapunov function 的存在性為 globally asymptotically stable 的充分條件。我們將此記做下方結果

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Theorem 1: Existence of Lyapunov Function Implies Globally Asymptotically Stability
假設 V() 為 Lyapuonv function for x+=f(x)A,則 A 為 globally asymptotically stable。
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Proof:
我們要證 A 為 globally asymptotically stable。故須證明
1. A 為 locally stable。
2. A 為 globally attractive。

先證 A 為 locally stable:給定 ε>0 我們要找出 δ>0 使得對任意 iZ0 |x|A<δ|ϕ(i;x)|A<ε

由於 V 為 Lyapunov function 故由其定義可繪製下圖幫助我們選擇 δ


δ:=α12(α1(ε));現在給定 iZ0, 我們要證明 |x|A<δ|ϕ(i;x)|A<ε ;故假設 |x|A<δ 則結合前述 δ 定義 我們有
|x|A<δ=α12(α1(ε))
α2(|x|A)<α1(ε)由Lyapunov function 定義第2條不等式可知
V(x)α2(|x|A)V(x)α1(ε)    ()現在觀察 Lyapunov function 定義第3條不等式,並且令 ϕ(i,x)x+=f(x) 之解,且注意到 αi() 其中 i=1,2,3 皆為 K 函數,故我們可寫下
V(f(x))V(x)α3(|x|)V(f(x))V(x)V(f(x))V(x)α1(ε)by().V(ϕ(i;x))α1(ε)α1(|ϕ(i;x)|A)V(ϕ(i;x))α1(ε)by1.|ϕ(i;x)|Aε至此我們得到 |x|A<δ|ϕ(i;x)|A<ε 即為所求。

接著我們證明 global attractivity:故給定任意 xX, 要證明 |ϕ(i;x)|A0 as i。基本想法為比較不同時間點 ϕ。 現在給定 ϕ(i;x)x+=f(x) 之解,由  Lyapunov function 定義第3條不等式可知
V(f(x))V(x)α3(|x|)V(ϕ(i+1;x))V(ϕ(i;x))α3(|ϕ(i;x)|)Vi+1:=V(ϕ(i+1;x))Vi:=V(ϕ(i;x)) 則由上式可推知 對任意 x 而言, 數列 {V}i 為非遞增數列 且 有下界為 0,故可知 Vi 收斂亦即
Vi+1Viα3(|ϕ(i;x)|)0asiα3(|ϕ(i;x)|)0 又由於 α3K,故
|ϕ(i;x)|=α13(α3(|ϕ(i;x)|))0|ϕ(i;x)|=α13(α3(|ϕ(i;x)|))0sinceα13K至此證畢。

上述定理告訴我們 asymptotically stable 的充分條件,但對於 必要條件 並無著墨。所幸透過適度的增強假設,我們仍可得到 asymptotically stable 必要條件,在此紀錄如下:

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Theorem 2: Converse Theorem for Asymptotic Stability
A 為 compact 且 f() 為連續函數。假設 A 為 globally asymptotic stable for the system x+=f(x) 則 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A
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Proof: omitted

故我們將 Theorem 1 Theorem 2 整合可得如下充分必要條件:

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Theorem 3 
A 為 compact 且 f() 為連續函數。則集合  A 為 globally asymptotic stable for the system x+=f(x) 若且唯若  存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A
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