Definition: Lyapunov Function
一個函數 V:Rn→R≥0 被稱作為 Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A 若下列條件成立:
存在函數 α1(⋅),α2(⋅),α3(⋅)∈K∞ 使得對任意 x∈Rn,
- V(x)≥α1(|x|A)
- V(x)≤α2(|x|A)
- V(f(x))−V(x)≤−α3(|x|A)
給定 A 為 closed positive invariant for x+=f(x) 且 A⊂X 我們說函數 V(⋅) 為 Lyapunov function in X for system x+=f(x) 與 集合 A 若下列條件成立:
對任意 x∈X,V(⋅) 滿足上述三條不等式。
上述 Lyapunov function 與 globally asymptotically stable 息息相關,事實上此Lyapunov function 的存在性為 globally asymptotically stable 的充分條件。我們將此記做下方結果
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Theorem 1: Existence of Lyapunov Function Implies Globally Asymptotically Stability
假設 V(⋅) 為 Lyapuonv function for x+=f(x) 與 A,則 A 為 globally asymptotically stable。
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Proof:
我們要證 A 為 globally asymptotically stable。故須證明
1. A 為 locally stable。
2. A 為 globally attractive。
先證 A 為 locally stable:給定 ε>0 我們要找出 δ>0 使得對任意 i∈Z≥0 |x|A<δ⇒|ϕ(i;x)|A<ε
由於 V 為 Lyapunov function 故由其定義可繪製下圖幫助我們選擇 δ
由於 V 為 Lyapunov function 故由其定義可繪製下圖幫助我們選擇 δ
令 δ:=α−12(α1(ε));現在給定 i∈Z≥0, 我們要證明 |x|A<δ⇒|ϕ(i;x)|A<ε ;故假設 |x|A<δ 則結合前述 δ 定義 我們有
|x|A<δ=α−12(α1(ε))故
⇒α2(|x|A)<α1(ε)由Lyapunov function 定義第2條不等式可知
V(x)≤α2(|x|A)⇒V(x)≤α1(ε) (∗)現在觀察 Lyapunov function 定義第3條不等式,並且令 ϕ(i,x) 為 x+=f(x) 之解,且注意到 αi(⋅) 其中 i=1,2,3 皆為 K∞ 函數,故我們可寫下
V(f(x))−V(x)≤−α3(|x|)⇒V(f(x))≤V(x)⇒V(f(x))≤V(x)≤α1(ε)by(∗).⇒V(ϕ(i;x))≤α1(ε)⇒α1(|ϕ(i;x)|A)≤V(ϕ(i;x))≤α1(ε)by1.⇒|ϕ(i;x)|A≤ε至此我們得到 |x|A<δ⇒|ϕ(i;x)|A<ε 即為所求。
接著我們證明 global attractivity:故給定任意 x∈X, 要證明 |ϕ(i;x)|A→0 as i→∞。基本想法為比較不同時間點 ϕ。 現在給定 ϕ(i;x) 為 x+=f(x) 之解,由 Lyapunov function 定義第3條不等式可知
V(f(x))−V(x)≤−α3(|x|)⇒V(ϕ(i+1;x))−V(ϕ(i;x))≤−α3(|ϕ(i;x)|)令 Vi+1:=V(ϕ(i+1;x)) 且 Vi:=V(ϕ(i;x)) 則由上式可推知 對任意 x 而言, 數列 {V}i 為非遞增數列 且 有下界為 0,故可知 Vi 收斂亦即
Vi+1−Vi≤−α3(|ϕ(i;x)|)→0asi→∞故α3(|ϕ(i;x)|)→0 又由於 α3∈K∞,故
|ϕ(i;x)|=α−13(α3(|ϕ(i;x)|))⏟→0⇒|ϕ(i;x)|=α−13(α3(|ϕ(i;x)|))→0sinceα−13∈K∞至此證畢。 ◻
上述定理告訴我們 asymptotically stable 的充分條件,但對於 必要條件 並無著墨。所幸透過適度的增強假設,我們仍可得到 asymptotically stable 必要條件,在此紀錄如下:
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故我們將 Theorem 1 與 Theorem 2 整合可得如下充分必要條件:
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Theorem 3
若 A 為 compact 且 f(⋅) 為連續函數。則集合 A 為 globally asymptotic stable for the system x+=f(x) 若且唯若 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A。
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|x|A<δ=α−12(α1(ε))故
⇒α2(|x|A)<α1(ε)由Lyapunov function 定義第2條不等式可知
V(x)≤α2(|x|A)⇒V(x)≤α1(ε) (∗)現在觀察 Lyapunov function 定義第3條不等式,並且令 ϕ(i,x) 為 x+=f(x) 之解,且注意到 αi(⋅) 其中 i=1,2,3 皆為 K∞ 函數,故我們可寫下
V(f(x))−V(x)≤−α3(|x|)⇒V(f(x))≤V(x)⇒V(f(x))≤V(x)≤α1(ε)by(∗).⇒V(ϕ(i;x))≤α1(ε)⇒α1(|ϕ(i;x)|A)≤V(ϕ(i;x))≤α1(ε)by1.⇒|ϕ(i;x)|A≤ε至此我們得到 |x|A<δ⇒|ϕ(i;x)|A<ε 即為所求。
接著我們證明 global attractivity:故給定任意 x∈X, 要證明 |ϕ(i;x)|A→0 as i→∞。基本想法為比較不同時間點 ϕ。 現在給定 ϕ(i;x) 為 x+=f(x) 之解,由 Lyapunov function 定義第3條不等式可知
V(f(x))−V(x)≤−α3(|x|)⇒V(ϕ(i+1;x))−V(ϕ(i;x))≤−α3(|ϕ(i;x)|)令 Vi+1:=V(ϕ(i+1;x)) 且 Vi:=V(ϕ(i;x)) 則由上式可推知 對任意 x 而言, 數列 {V}i 為非遞增數列 且 有下界為 0,故可知 Vi 收斂亦即
Vi+1−Vi≤−α3(|ϕ(i;x)|)→0asi→∞故α3(|ϕ(i;x)|)→0 又由於 α3∈K∞,故
|ϕ(i;x)|=α−13(α3(|ϕ(i;x)|))⏟→0⇒|ϕ(i;x)|=α−13(α3(|ϕ(i;x)|))→0sinceα−13∈K∞至此證畢。 ◻
上述定理告訴我們 asymptotically stable 的充分條件,但對於 必要條件 並無著墨。所幸透過適度的增強假設,我們仍可得到 asymptotically stable 必要條件,在此紀錄如下:
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Theorem 2: Converse Theorem for Asymptotic Stability
令 A 為 compact 且 f(⋅) 為連續函數。假設 A 為 globally asymptotic stable for the system x+=f(x) 則 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A。=============
Proof: omitted
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Theorem 3
若 A 為 compact 且 f(⋅) 為連續函數。則集合 A 為 globally asymptotic stable for the system x+=f(x) 若且唯若 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system x+=f(x) 與 集合 A。
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