[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory

延續前篇 [系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念，我們現在可以開始介紹 Lyapunov Stability Theory。

Definition: Lyapunov Function
一個函數 $V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 被稱作為 Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立：
存在函數 $\alpha_1(\cdot), \alpha_2(\cdot),  \alpha_3(\cdot) \in \mathcal{K}_\infty$ 使得對任意 $x \in \mathbb{R}^n$，

1. $V(x) \ge \alpha_1(|x|_\mathcal{A})$
2. $V(x) \le \alpha_2(|x|_\mathcal{A})$
3. $V(f(x)) - V(x) \le -\alpha_3(|x|_\mathcal{A})$

給定 $\mathcal{A}$ 為 closed positive invariant for $x^+ = f(x)$ 且 $\mathcal{A} \subset X$ 我們說函數  $V(\cdot)$ 為 Lyapunov function in $X$ for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立：

對任意 $x \in X$，$V(\cdot)$ 滿足上述三條不等式。

上述 Lyapunov function 與 globally asymptotically stable 息息相關，事實上此Lyapunov function 的存在性為 globally asymptotically stable 的充分條件。我們將此記做下方結果

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Theorem 1: Existence of Lyapunov Function Implies Globally Asymptotically Stability

假設 $V(\cdot)$ 為 Lyapuonv function for $x^+ = f(x)$ 與 $\mathcal{A}$，則 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotically stable。

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Proof:

我們要證 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotically stable。故須證明

1. $\mathcal{A}$ 為 locally stable。

2. $\mathcal{A}$ 為 globally attractive。

先證 $\mathcal{A}$ 為 locally stable：給定 $\varepsilon >0$ 我們要找出 $\delta >0$ 使得對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ $|x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon$

由於 $V$ 為 Lyapunov function 故由其定義可繪製下圖幫助我們選擇 $\delta$

令 $\delta : = \alpha _2^{ - 1}\left( {{\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)} \right)$；現在給定 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$， 我們要證明 $|x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon$ ；故假設 $|x|_\mathcal{A}< \delta$ 則結合前述 $\delta$ 定義 我們有
$${\left| x \right|_{{\cal A}}} < \delta  = \alpha _2^{ - 1}\left( {{\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)} \right)$$ 故
$$\Rightarrow \alpha _2^{}\left( {{{\left| x \right|}_{{\cal A}}}} \right) < {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)$$ 由Lyapunov function 定義第2條不等式可知
$$V(x) \le {\alpha _2}(|x{|_{{\cal A}}}) \Rightarrow V(x) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right) \ \ \ \ (*)$$ 現在觀察 Lyapunov function 定義第3條不等式，並且令 $\phi(i,x)$ 為 $x^+ = f(x)$ 之解，且注意到 $\alpha_i(\cdot)$ 其中 $i=1,2,3$ 皆為 $\mathcal{K}_\infty$ 函數，故我們可寫下
$$\begin{array}{*{20}{l}} {V(f(x)) - V(x) \le  - {\alpha _3}\left( {|x|} \right)}\\ { \Rightarrow V(f(x)) \le V(x)}\\ { \Rightarrow V(f(x)) \le V(x) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}by\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\left( * \right).}\\ { \Rightarrow V(\phi \left( {i;x} \right)) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)}\\ { \Rightarrow {\alpha _1}(|\phi \left( {i;x} \right){|_A}) \le V(\phi \left( {i;x} \right)) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}by\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}1.}\\ { \Rightarrow |\phi \left( {i;x} \right){|_A} \le \varepsilon } \end{array}$$ 至此我們得到 $|x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon$ 即為所求。

接著我們證明 global attractivity：故給定任意 $x \in X$， 要證明 $|\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0 \text{ as $i \to \infty$}$。基本想法為比較不同時間點 $\phi$。 現在給定 $\phi(i;x)$ 為 $x^+ = f(x)$ 之解，由  Lyapunov function 定義第3條不等式可知
$$\begin{array}{l} V(f(x)) - V(x) \le  - {\alpha _3}\left( {\left| x \right|} \right)\\  \Rightarrow V(\phi \left( {i + 1;x} \right)) - V(\phi \left( {i;x} \right)) \le  - {\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right) \end{array}$$ 令 $V_{i+1}:= V(\phi \left( {i + 1;x} \right))$ 且 $V_i := V(\phi \left( {i;x} \right))$ 則由上式可推知 對任意 $x$ 而言， 數列 $\{V\}_i$ 為非遞增數列 且 有下界為 $0$，故可知 $V_i$ 收斂亦即
$${V_{i + 1}} - {V_i} \le  - {\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right) \to 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}as\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}i \to \infty$$ 故${\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right) \to 0$ 又由於 $\alpha_3 \in \mathcal{K}_\infty$，故
$$\begin{array}{l} \left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right| = \alpha _3^{ - 1}\underbrace {\left( {{\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right)} \right)}_{ \to 0}\\  \Rightarrow \left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right| = \alpha _3^{ - 1}\left( {{\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right)} \right) \to 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}since\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\alpha _3^{ - 1} \in {\mathcal{K}_\infty } \end{array}$$ 至此證畢。 $\square$

上述定理告訴我們 asymptotically stable 的充分條件，但對於 必要條件 並無著墨。所幸透過適度的增強假設，我們仍可得到 asymptotically stable 必要條件，在此紀錄如下：

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Theorem 2: Converse Theorem for Asymptotic Stability

令 $\mathcal{A}$ 為 compact 且 $f(\cdot)$ 為連續函數。假設 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotic stable for the system $x^+ = f(x)$ 則 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$。
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Proof: omitted

故我們將 Theorem 1 與 Theorem 2 整合可得如下充分必要條件：

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Theorem 3 
若 $\mathcal{A}$ 為 compact 且 $f(\cdot)$ 為連續函數。則集合  $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotic stable for the system $x^+ = f(x)$ 若且唯若  存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$。
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