2018年9月8日 星期六

[泛函分析] 幾何平均與算術平均不等式的一類推廣

回憶中學時期學過的 幾何平均與算術平均關係:令 $a,b \in \mathbb{R}$則 幾何平均 有 算術平均作為上界
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}
\]現在我們將上述結果做一類推廣

Claim: 令 $\theta \in (0,1)$ 且 $a, b \geq 0$則
\[
a^{1-\theta}b^{\theta} \leq (1-\theta)a + \theta b
\]
在給出證明之前我們先做出一些說明

Remarks:
1. 上述 claim 不等式左方:$a^{1-\theta}b^{\theta}$ 一般稱作廣義幾何平均 (Generalized Geometric Mean)。
2. 上述 claim 不等式右方:$(1-\theta)a + \theta b$ 有些學者將其稱作廣義算術平均 (Generalized Arthmic Mean)。但若有涉獵凸分析或者凸最優問題的讀者大概不難看出 此式具備 convex combinaiton 的形式。事實上此不等式在 與凸分析中的 log-convexity 有相關,讀者可自行查閱相關文獻。
3. 上述 Claim 一般又稱作 Auxiliary  Holder inequality.

以下我們給出 Claim 的證明。

Proof of the Claim: 首先做以下觀察:若 $a,b = 0$ 或任一為 $0$ 則不等式自動成立。故在不失一般性的情況下 我們設 $a \geq b >0$ 並且注意到 $a^{1-\theta} = a a^{-\theta}$ 故我們可改寫要證明的不等式如下
\begin{align*}
\left(\frac{b}{a}\right)^\theta \leq (1-\theta) + \theta \frac{b}{a}
\end{align*}
令 $x:=b/a$ 則 $x \in (0,1)$ 且我們僅需證明
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]令 $g(x):=  1-\theta +\theta x - x^\theta $,注意到 $g(1) = 0$ 且 $g(0) = 1-\theta>0$
\[
g'(x) = \theta -\theta x^{\theta-1} < \theta -\theta = 0
\]亦即 $g'(x) <0$ 表示 $g$ 為在 $x \in (0,1)$ 處為遞減函數。故由 $g$ 的連續性,對 $x \in [0,1]$ 我們有
\[
g(x) \geq 0
\]此等價為
\[
1-\theta +\theta x - x^\theta \geq 0
\]同理
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]上述即為我們待證的不等式,至此證明完畢。$\square$