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[三角函數] 一類 離散餘弦取負值的條件

Claim 1: 令 $\omega \in (0, \pi/2)$,則 存在 正整數 $k $ 使得
\[
\cos(\omega k ) <0
\]==========


Proof: 首先回憶 floor 函數:對任意 $x \in \mathbb{R}$, $\lfloor x \rfloor$具備以下性質
\[
x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x
\]現在給定 $0 < \omega < \pi/2$,並取
\[
k := 1 + \bigg \lfloor \frac{\pi}{2\omega} \bigg\rfloor
\]則利用前述的 floor 函數性質,我們有
\[
\frac{\pi}{2\omega} < k \leq 1 + \frac{\pi}{2\omega}
\]兩邊同乘 $\omega$ 則
\[
\frac{\pi}{2} < \omega k \leq \omega + \frac{\pi}{2}
\]因為 $\omega \in (0, \pi/2)$,我們可以進一步取上述不等式右方的上界,亦即 $ \omega + \frac{\pi}{2} < \pi$。故
\[
\omega k \in \bigg(\frac{\pi}{2}, \pi \bigg) \subset \bigg( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\bigg)
\]注意到對任意 $\theta \in  \bigg( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\bigg)$, $\cos \theta < 0$ ,故 $\cos(\omega k) < 0$。至此得證。 $\square$



Comment: 我們可將 claim 1 結果進一步推廣到包含有相位的情況:




==========
Claim 2: 令 $\omega \in (0, \pi/2)$ 且 $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$,則 存在 整數 $k >2$ 使得
\[
\cos(\omega(k- 1) + \theta) <0
\]==========


Proof:
\[
k_0 := 1 + \bigg\lfloor \frac{\…
最近的文章

[測度論] 關於 Almost Everywhere

給定測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$我們說 某性質 $P$ almost everywhere 成立 意思是 對所有非零測度集合此性質 $P$ 都成立。(換言之,除零測度集之外,此性質 $P$ 都成立。)

Lemma:
假設 $f(x) \geq 0$ 且 $f$ 為 $(\mathcal{M}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ 可測。假設 $\int f d\mu = 0$ 則 $f(x) = 0$ almost everywhere (i.e., $\mu\{x: f(x)>0\} = 0$)

Proof:
令 $E:= \{x:f(x)>0\}$,我們要證明$\mu(E) = 0$ 。為此,我們首先證明 $\mu(E_n) = 0$ 其中 $E_n :=\{x: f(x) > 1/n\}$。觀察以下事實 $\cup_n E_n = E$ 且 $E_n \uparrow E$。

觀察
\[
\mu(E_n) := \int 1_{E_n}  \;\;\;\;(*)
\]注意到對任意 $x\in E_n$,我們有 $f(x) > 1/n $,此等同於 $n f(x) > 1$ ,故對任意 $x\in E_n$, $nf(x) 1_{E_n}(x) > 1 \cdot 1_{E_n}(x)$ 。將此用到 $(*)$ 我們得到
\[
\mu(E_n) = \int 1_{E_n} < \int nf(x)1_{E_n} \leq \int nf(x) =n \underbrace{\int f(x) d\mu(x)}_{=0}
\]亦即
\[
\mu(E_n) = 0
\]最後我們檢驗
$$\mu(E) = \mu(\cup_n E_n) = \lim_n \mu(E_n) = 0$$即為所求。$\square$


Lemma 2:
給定 測度空間 $(X,\mathcal{M}, \mu)$ 且 $\mu$ 為complete measure,若 $f$ 為 $(\mathcal{M},\overline{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ measurable 且 $f=g$ almost everywhere 則 $g$ 亦為 $(\mathcal{M},\overl…

[測度論] Almost Uniform Convergence (1) 定義 與 經典例子

Definition: 令 $f_n, f$ 為 complex-valued measurable 函數,我們說 $f_n \to f$ almost uniformly 若下列條件成立:
對任意 $\varepsilon>0$,存在可測集 $E_\varepsilon$ 滿足 $\mu(E_\varepsilon)<\varepsilon$ 使得
\[
f_n \to f \text{ uniformly on $E_\varepsilon^c$}
\]換言之,$\sup_{x \in X\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。

Example:
考慮 測度空間 $([0,1],\mathcal{L},m)$,取 $f_n(x) := x^n$ ,則
1. $f_n \not \to f$ uniformly
2. $f_n \to f$ almost uniformly

Proof 1.:
首先注意到 $$
\lim_n f_n(x) := f(x) =  \begin{cases}
      0 & x \in [0,1) \\
      1 & x = 1
   \end{cases}
$$ 觀察 $$
\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = 1 \not\to 0
$$故 $f_n \not\to f$ uniformly。$\square$

Proof 2: 令 $\varepsilon \in (0,1)$ 取 $E_\varepsilon :=(1-\varepsilon/2, 1]$ 則 $\mu(E_\varepsilon) = \varepsilon/2 < \varepsilon$ 且對任意 $x \in [0,1] \setminus E_\varepsilon$ 而言,
\begin{align*}
\sup_{x \in [0,1]\setminus E_\varepsilon} |f_n(x) - f(x)| &=  \sup_{x \in [0, 1-\varepsilon/2]}|x^n-0|\\
&=(1-\varepsilon/2)^n  \to 0 \;\; \t…

[測度論] DCT 應用 (2) - Simple Fubini-Tonollei Theorem

Theorem:
假設 $\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$。則
(a) $\sum_{n=1}^\infty f_n$ almost everywhere 收斂 。
(b) $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。

Proof:(a) 令$\{f_n\}\subset L^1$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n| <\infty$,則我們有
\[
\int \sum_{n=1}^\infty |f_n| = \sum_{n=1}^\infty\int |f_n|   <\infty
\]故我們知道 $ \sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^\infty |f_n|<\infty$ almost everywhere。此表明對 almost every $x$, $\sum_{n=1}^\infty f_n(x) $ (絕對)收斂。令極限
$$ f(x):=\lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^N f_n(x) $$ 故我們僅需證明此 $f \in L^1$。注意到 對任意 $N$, $\lim_N \sum_{n=1}^N f_n \leq \lim_N \sum_{n=1}^\infty |f_n|$ a.e. 故 $f \leq \lim_N \sum_{n=1}^N |f_n|$ a.e. 由於 $\lim_N \sum_{n=1}^N |f_n| \in L^1$ 故 $f \in L^1$。

Proof (b)
要證明 $\int \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int f_n$。首先觀察
\[
 \int \sum_{n=1}^N f_n = \sum_{n=1}^N \int  f_n \;\;\;\; (*)
\]由於 $\sum_{n=1}^N f_n \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n| \in L^1$ 且 $\sum_{n=1}^N f_n \to f$ a.e. in $L^1$ …

[測度論] indicator function 為可測函數的充分必要條件

令 $(X,\mathcal{M})$ 與 $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ 為可測空間。

Fact: 令 $1_E: (X,\mathcal{M}) \to (\mathbb{R},\mathcal{L})$ 滿足
\[ 1_E(x):=\begin{cases}
      1 & x \in E\\
      0 & x \notin E
   \end{cases}
\]則 $1_E$ 為可測函數 若且唯若 $E \in \mathcal{M}$。

Proof: $(\Leftarrow)$ 假設 $E \in \mathcal{M}$。我們要證明 $1_E$ 為可測函數。為此,令 $I:=(-\infty, \alpha]$ 為任意區間,我們僅需證明 $1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。若 $\alpha \leq 0$,則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x) < \alpha\}=\varnothing \in \mathcal{M}
$$ 若 $\alpha >1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=X \in \mathcal{M}
$$最後,若 $0<\alpha \leq 1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=E^c
$$ 由於 $E\in \mathcal{M}$ 且 $\mathcal{M}$ 為 $\sigma$-algebra,故 $E^c \in \mathcal{M}$。至此我們得證 $1_E$ 為可測函數。

$(\Rightarrow)$ 假設 $1_E$ 為可測函數,我們要證明 $E \in \mathcal{M}$。由於 $1_E$ 為可測函數,對任意區間 $I=(-\infty,\alpha]$ 而言,$1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。故取 $\alpha =1/2$ 我們有
$$
1_E^{-1}(I):=\{x:\chi_E(x)<1/2\} = E^c \in \mathcal{M}
$$由於 $\cal M $為 $\sigma$-algebra,故 $E\in \mathcal{M}$。$\sq…