[數學分析] 連續函數族的逐點上包絡函數不一定連續

連續函數有諸多用途，一般在參數最佳化領域中常見的情況是考慮所謂的上包絡函數(upper envelope function)。

Definition: 定義函數族 \(\{f_t : t \in T\} \) 其中 \(T\) 為 index set 並考慮對任意 \(x \in X\)，現在定義上包絡函數(upper envelope function) 或者 逐點上確界函數(pointwise supremum function)
$$ F(x) := \sup_t f_t(x)$$

Question: 一個有趣的問題是如果這些函數族成員都是連續函數，那麼取 supremum 之後所得到的新函數 \(F\) 是否仍為連續呢？

答案是否定的。以下例子說明甚至是定義在緊緻集合上的連續函數族也沒有保證上包絡函數連續。

Example: 考慮一連續函數族 \( \{f_t: t \in [0, T]\} \) 其中 \(f_t(x) := x^t\) 對 \(x \in [0,1]\) 且 \(t \in [0,1]\) 並定義 \(f_0 = 0\)。 則函數族的上包絡函數為 $$ \sup_t f_t(x) = \begin{cases} 1, & x \in (0, 1] \\ 0, & x = 0\end{cases}$$ 讀者不難發現此函數在 \(x=0\) 處有不連續跳點。

Comment: 在最佳控制與數理經濟中有個非常有用的定理可以刻畫上包絡函數的連續性稱作 Berge's Maximum Theorem 有興趣的讀者可以自行查閱。