2013年7月3日 星期三

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
 (此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。)

中文翻譯叫做 若且唯若 (or 當且僅當)記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。

在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種雙條件句,通常可以直接將其視為"定義(Definition)"待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他

假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B.
注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。

現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A"
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作 "A implies B" 
或者用箭頭表示 "A  $\Rightarrow$   B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

  1. "A if and only if B" 
  2. "A iff B" 
  3. "A is equivalent to B" 
  4. "A is a necessary and sufficient condition for B" 
  5. "( A implies B ) and ( B implies A )" 
  6. "( A  $\Rightarrow$   B ) and ( B  $\Rightarrow$   A )" 
  7. "A $\Leftrightarrow$ B" 


Comments: 
(1) A iff B 當中的 iff 只是 if and only if 的英文縮寫。
(2) A is equivalent to B 表A與B等價,若有興趣深究什麼是數學上的等價關係,可以參閱 數學上的等價關係 一文
(3) A is a necessary and sufficient condition for B 提及 必要條件 (necessary condition) 與 充分條件 (sufficient condition),但為了不造成混淆,原則上以前述的說明為主。有興趣請再參考附註
.
附註
If A then B (我們稱B為A的 必要條件; A為B的充分條件)

用上述的說法,A if and only if B
即可說 A為B的充分且必要條件 而且  B也為A的充分且必要條件

你可能會發現這種充/要條件的說法很饒舌,個人其實沒有非常喜歡這種用法,最直白還是使用箭頭表述,會發現一切都變得簡單又清