[半導體] 半導體中的電流- drift current & diffusion current

半導體中的電流是由電子(electron)及電洞(hole)兩種載子(carrier)移動所產生

載子移動的方式：

1. 擴散(diffusion) $\Rightarrow$ 擴散電流 (不受外力電場作用)
2. 飄移(drift) $\Rightarrow$ 飄移電流 (受外力電場作用)

擴散 與 擴散電流

現在定義電子濃度為 $n$，電洞濃度為 $p$，單位皆為  $(\#/{cm}^3)$

擴散電流(Diffusion Current)

若半導體中濃度分布不均就會產生擴散 (由濃度高流向濃度低)，無關外力電場只與濃度 $p, n$ 的梯度 (gradient) $\frac{dp}{dx}$ 有關  

亦即，擴散電流 $ \propto \frac{\Delta p}{\Delta x}$

現在我們定義 電流方向 為 正電荷 流動的方向，

則對於電子 electron 而言，由於其 帶負電，故當濃度高的電子往濃度低的電子擴散的時候，帶負電的電子移動產生 diffusion current，且此 diffusion current 的方向可如下圖所示

則對於電洞 hole 而言，由於其 帶正電，故當濃度高的電洞往濃度低的電子擴散的時候，帶正電的電洞移動產生 diffusion current，且此 diffusion current 的方向可如下圖所示

現在我們定義電流密度(current density) $J$ 為 單位面積流過的電流 (單位: 安培/平方公分)：
\[
J := \frac{I}{A}, \; (A/{cm^2})
\]
故我們現在可寫下對應 electron 與 hole 的擴散電流密度 diffusion current density $J_{diffusion}$ 如下
\[{J_{diffusion}} \propto \frac{{dp}}{{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{J_{p,diffusion}} =  - q{D_p}\frac{{dp}}{{dx}}\\
{J_{n,diffusion}} = q{D_n}\frac{{dn}}{{dx}}
\end{array} \right.
\]其中 $D_p$ 表 電洞的擴散常數diffusion constant of hole； $D_n$ 表 電子的擴散常數(diffusion constant of electron)。

另外注意到上式中 $J_{p,diffusion}$前方有負號，是因為其濃度梯度方向 $dp/dx$ 為梯度下降方向，但是擴散電流方向仍朝右方前進 ($x$ 增加的方向)，故若總結電流方向 (朝右)，則勢必要額外多乘上 負號 來維持我們的方向一致。

且 總擴散電流密度 (Total diffusion current density)
\[\begin{array}{l}
{J_{total,diffusion}} = {J_{p,diffusion}} + {J_{n,diffusion}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} =  - q{D_p}\frac{{dp}}{{dx}} + q{D_n}\frac{{dn}}{{dx}}
\end{array}\]
Comment:
$D_p, D_n$ 的單位可計算如下：
令 $[ \cdot ]$ 表示 $\cdot$ 的單位，現在以 $D_n$ 為例，
\[
{J_{n,diffusion}} = q{D_n}\frac{{dn}}{{dx}}
\]現在對上式兩邊取單位，我們可得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \left[ {{D_n}} \right] = \frac{{\left[ {{J_{n,diffusion}}} \right]}}{{\left[ {q\frac{{dn}}{{dx}}} \right]}}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{\left[ {A/c{m^2}} \right]}}{{\left[ {Q\frac{{\# /c{m^3}}}{{cm}}} \right]}} = \left[ {\frac{A}{Q}} \right]\left[ {c{m^2}} \right] = \left[ {\frac{{c{m^2}}}{{\sec }}} \right]}
\end{array}\]又因為電荷量 = 電流 乘上時間，亦即 $q = I \cdot t \Rightarrow \left[ q \right] = \left[ {I \cdot t} \right] \Rightarrow Q = A \cdot \sec $故
\[\left[ {{D_n}} \right] =  {\frac{{[c{m^2}]}}{{[\sec ]}}} \]


飄移電流(Drift current)
電荷載子在電場 $\vec E$ 中受到力的作用，而在電場 $\vec E$ 方向產生運動稱為飄移
(Example: 假設施加電場方向向右，則對帶正電的hole而言，其產生的飄移電流會往右移動，但對於帶負電的電子而言，其(平均)飄移電流則會往左移動)

下圖顯示了電場 $E$ 與 dirft velocity $v_d$ 之間的關係：

可以看出在低電場 $E < 10^3 \; (v/cm)$的狀態，載子的飄移速度(drift velocity, $v_d$) 與電場強度成正比 (線性關係)
\[
{v_d} \propto E
\]故我們可額外引入一個常數 $\mu$ 來描述此現象，我們稱 $\mu$ 為 遷移率(mobility)，是用來描述在有電場作用下，用以測量載子飄移速度快慢的物理量。

我們可進一步寫為
\[{v_d} \propto E \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_{p,drift}} = {\mu _p}E\\
{v_{n,drift}} =  - {\mu _n}E
\end{array} \right.
\]其中 $\mu_p$ 為 電洞遷移率 (mobility of holes)，$\mu_n$ 為電子遷移率。

上式 $v_{n,drift}$ 負號來自於由於當施加電場時，電子流向與電場方向相反。注意到 $\mu$ 的單位為
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {{v_{p,drift}}} \right] = \left[ {{\mu _p}E} \right]}\\
{ \Rightarrow \left[ {{\mu _p}} \right] = \frac{{\left[ {{v_{p,drift}}} \right]}}{{\left[ E \right]}} = \frac{{\left[ {cm/\sec } \right]}}{{\left[ {v/cm} \right]}} = \left[ {\frac{{c{m^2}}}{{v \cdot \sec }}} \right]}
\end{array}\]
有了 drift velocity $v_d$ 我們便可開始計算對應的 Drift current density $J_{drift}$。

Drift Current Density

飄移電流密度定義為 電荷密度 $\rho$ 與 載子 drift velocity $v_d$ 的乘積；亦即
\[
J_{drift} := \rho \cdot v_d
\] 現在我們用下圖說明為何上式如此定義：考慮一具有截面積 $A$ 長度為 $l$ 且內含 電荷密度 $\rho$ 的微小立方體，並且在施加電場 $E$ 後，載子具有飄移速度 $v_d = l/t$ 如下圖

上圖自截面積 $A$ 處流出的電流 為單位時間 $t$ 流過的電量$Q$，亦即 $I := Q/t$，又因為電荷密度 $\rho := Q/V$ 其中 $V$ 為體積。故我們可得
\[I = \frac{Q}{t} = \frac{{\rho V}}{t}
\]由上圖我們知道微小立方體體積為 $V = A \times l$ 故
\[I = \frac{Q}{t} = \frac{{\rho V}}{t} = \frac{{\rho Al}}{t} = \rho A{v_d}
\]又由電流密度的定義 $J := I/A$ 可知
\[{J_{drift}} = \frac{I}{A} = \rho \cdot{v_d} \ \ \ \ (*)
\]

現在我們分別針對載子為電洞 與 電子的情況來討論：
在前面討論中我們已知

• 電洞飄移速度 $v_{p,drift} = \mu_p E$，
• 電子飄移速度為 $v_{n,drift} = -\mu_n E$

且我們又知道
對電洞載子而言，電荷密度 $\rho $= 電荷量 $q$ 與 電洞濃度 $p$ 的乘積：$\rho = q \times p$
對電子載子而言。電荷密度 $\rho $ = 電荷量 $q$ 與 電子濃度 $n$ 的乘積：$\rho = -q \times n$ (因為電子帶負電)
故我們總結以上結果，可進一步改寫電流密度 $(*)$如下
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{J_{p,drift}} = \rho {v_{p,drift}}}\\
{{J_{n,drift}} = \rho {v_{n,drift}}}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{J_{p,drift}} = \left( {qp} \right)\left( {{\mu _p}E} \right)}\\
{{J_{n,drift}} = \left( { - qn} \right)\left( { - {\mu _n}E} \right)}
\end{array}} \right.\]故總電流密度
\[
{J_{drift}} = {J_{p,drift}} + {J_{n,drift}} = q\left( {p{\mu _p} + n{\mu _n}} \right)E \ \ \ \ (\star)
\]

半導體導電度(conductivity)
半導體導電度 $\sigma$ 定義為單位電場強度的飄移電流密度，亦即
\[\sigma : = \frac{{{J_{drift}}}}{E}
\]故由 $(\star)$ 可知
\[\sigma  = \frac{{{J_{drift}}}}{E} = q\left( {p{\mu _p} + n{\mu _n}} \right)
\]亦即 導電度是與 電子電洞濃度 $n,p$ 與 飄移率 $\mu_n, \mu_p$ 有關，現在我們可以給個

總結

本質半導體：$p=n=n_i\Rightarrow \sigma= q{n_i}\left( {{\mu _p} + {\mu _n}} \right)$
外質半導體 (本質半導體參雜 III 族 (P type) 或者 V族元素 (N type) 之後的半導體)：

• N-type 半導體：$n=N_D >>p \Rightarrow \sigma   \cong q\left( {{N_D}{\mu _n}} \right)$
• P-type 半導體：$p = N_A >> n \Rightarrow \sigma \cong q(N_A \mu_p)$

Comments: 
1.本質半導體 的濃度 $n_i$ 為對溫度極為敏感的函數 $n_i(T)$，但 N-type 與 $P-type$ 的 $N_D$ 與 $N_A$ 以對溫度無關且 $N_D, N_A >> n_i$。

2. 注意到對於半導體而言 $D_n/D_p \cong 3/1$ 且 $\mu_n/\mu_p \cong 3/1$。此說明了 electron 較 hole 為靈活。

3. 在室溫(300 K)之下，本質矽的 diffusion constant 與 mobility 如下
$\mu_p = 480\; {cm^2}/{v \cdot s}$
$\mu_n = 1350 {cm^2}/{v \cdot s}$
$D_p =12 \; {cm^2/s}$
$D_n = 34 \; {cm^2/s}$

且我們有如下關係
\[\frac{{{D_n}}}{{{\mu _n}}} = \frac{{{D_p}}}{{{\mu _p}}}: = {V_T}
\] 上述關係稱為 Einstein Relationship 且 $V_T$ 稱為 熱電壓 (Thermal voltage)