[測度論] 期望值下確界與函數值下確界之恆等式

 Claim: 令 $(X, \mathcal{F})$ 為可測空間。令 $g: X \to \mathbb{R}$ 為可測函數，則 $$\inf_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}(X)} \int_X g(x) d\mathbb{P}(x) = \inf_{x \in X} g(x)$$ 其中 $\mathcal{P}(X)$ 為 $(X, \mathcal{F})$ 上所有機率測度所成之集合。

Proof: 先證明 $\geq$: 對任意機率測度 $\mathbb{P}$，我們有 $$ g(x) \geq \inf_{x \in X}g(x) $$ 故取期望值不等式仍成立，亦即 $$ \mathbb{E}^\mathbb{P}[g(X)] = \int_X g(x) d\mathbb{P}(x) \geq \inf_{x \in X} g(x) $$  

以下接著證明 $\leq$: 固定 $\varepsilon > 0$，則由 infimum 定義，存在 $x_\varepsilon \in X$ 滿足 $$ g(x_\varepsilon) \leq \inf_x g(x) + \varepsilon \qquad (*) $$ 令 $\mathbb{P}:=\delta_{x_\varepsilon}$ (Dirac at $x_\varepsilon$ 滿足 $\delta_x(A):=1_{x \in A}$, $A \in \mathcal{F}$ ) 則 $$ \mathbb{E}^\mathbb{P}[g(X)] = \int_X g(x) d\delta_{x_\varepsilon} = g(x_\varepsilon) $$ 由$(*)$我們進一步得到 $$ \int_X g(x) d\delta_{x_\varepsilon} = g(x_\varepsilon) \leq \inf_x g(x) + \varepsilon $$ 對兩邊同取 $\inf_\mathbb{P}$ 可得 $$ \inf_\mathbb{P} \int_X g(x) d\mathbb{P}(x) \leq \inf_x g(x) + \varepsilon $$ 令 $\varepsilon \downarrow 0$ 得到 $\inf_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}(X)} \int_X g(x) d\mathbb{P}(x) \leq \inf_{x \in X} g(x)$

Remark: (Dirac 測度不需單點可測）：在任意可測空間 $(X,\mathcal F) $上，對每個 $x\in X$ 定義 $\delta_x(A)=\mathbf 1_{\{x\in A\}}$ 其中 $A \in \mathcal F$，則 $\delta_x$ 是機率測度，且對一切 $\mathcal F$-可測 $g$ 有 $\int g\,d\delta_x=g(x)$。因此上述證明中以 $\delta_{x_\varepsilon}$ 作為選擇的測度不需要額外假設 $\{x\}\in\mathcal F$。

[泛函分析] 幾何平均與算術平均不等式的一類推廣

回憶中學時期學過的 幾何平均與算術平均關係：令 $a,b \in \mathbb{R}$則 幾何平均 有 算術平均作為上界
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}
\]現在我們將上述結果做一類推廣

Claim: 令 $\theta \in (0,1)$ 且 $a, b \geq 0$則
\[
a^{1-\theta}b^{\theta} \leq (1-\theta)a + \theta b
\]
在給出證明之前我們先做出一些說明

Remarks:
1. 上述 claim 不等式左方：$a^{1-\theta}b^{\theta}$ 一般稱作廣義幾何平均 (Generalized Geometric Mean)。
2. 上述 claim 不等式右方：$(1-\theta)a + \theta b$ 有些學者將其稱作廣義算術平均 (Generalized Arthmic Mean)。但若有涉獵凸分析或者凸最優問題的讀者大概不難看出 此式具備 convex combinaiton 的形式。事實上此不等式在 與凸分析中的 log-convexity 有相關，讀者可自行查閱相關文獻。
3. 上述 Claim 一般又稱作 Auxiliary  Holder inequality.

以下我們給出 Claim 的證明。

Proof of the Claim: 首先做以下觀察：若 $a,b = 0$ 或任一為 $0$ 則不等式自動成立。故在不失一般性的情況下 我們設 $a \geq b >0$ 並且注意到 $a^{1-\theta} = a a^{-\theta}$ 故我們可改寫要證明的不等式如下
\begin{align*}
\left(\frac{b}{a}\right)^\theta \leq (1-\theta) + \theta \frac{b}{a}
\end{align*}
令 $x:=b/a$ 則 $x \in (0,1)$ 且我們僅需證明
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]令 $g(x):=  1-\theta +\theta x - x^\theta $，注意到 $g(1) = 0$ 且 $g(0) = 1-\theta>0$
\[
g'(x) = \theta -\theta x^{\theta-1} < \theta -\theta = 0
\]亦即 $g'(x) <0$ 表示 $g$ 為在 $x \in (0,1)$ 處為遞減函數。故由 $g$ 的連續性，對 $x \in [0,1]$ 我們有
\[
g(x) \geq 0
\]此等價為
\[
1-\theta +\theta x - x^\theta \geq 0
\]同理
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]上述即為我們待證的不等式，至此證明完畢。$\square$

[泛函分析] Bessel's Inequality

下列 Bessel's inequality 在 泛函分析 與 Fourier 分析中扮演重要角色，此不等式表示給定任意在 Hilbert Space 中的點 $x$ (e.g., $L^2$ 空間上 封閉子集的函數)， 且給定一組 Hilbert Space 上的正交基底函數 (e.g., complex exponential function, $\{e_i\}$) 則 任意點 $x$ 透過 $\{e_i\}$ 作為基底展開的係數平方和 有上界 且此上界剛好為 $||x||^2$。此不等式的證明要求對內積的性質有進一步掌握，個人認為是很好的練習。

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Theorem: Bessel's Inequality
令 $H$ 為 Hilbert Space 且 $x \in H$。若 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 則
\[
\sum_{i=1}^\infty | \langle x,e_i \rangle |^2 \leq ||x||^2
\]其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 為 $H$ 上的內積運算。
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Proof:
令 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 且 $x \in H$，現在觀察 $x$ 與 部分和$\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle$ 的差異 (透過內積)：
\begin{align*}
  0 \leqslant {\left\| {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\|^2} &= \left\langle {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } {e_i},x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\rangle  \hfill \\
   &= \left\langle {x,x} \right\rangle  - \left\langle {\sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } {e_i},x} \right\rangle  - \left\langle {x,\sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\rangle  \\
& \hspace{15mm}+ \left\langle {\sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } {e_i},\sum\limits_{j = 1}^n {\langle x,{e_j}\rangle {e_j}} } \right\rangle  \hfill \\
  & = {\left\| x \right\|^2} - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } \left\langle {{e_i},x} \right\rangle  - \sum\limits_{i = 1}^n {\overline {\langle x,{e_i}\rangle } } \left\langle {x,{e_i}} \right\rangle  \\
& \hspace{15mm}+ \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } \sum\limits_{j = 1}^n {\overline {\langle x,{e_j}\rangle } } \left\langle {{e_i},{e_j}} \right\rangle  \hfill \\
   &= {\left\| x \right\|^2} - \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}}  - \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}}  + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}}  \hfill \\
\end{align*}  上述第三條等式成立是因為應用了 一些內積的 FACT (請參閱下文)，另外最後一條等式成立是因為應用了 $\{e_i\}$ 為 orthonormal 的性質 (亦即 $(e_i,e_j) = 1$ 當 $i=j$，且當 $i \neq j$時，$(e_i,e_j)=0$) 故上式最後一項滿足
\[\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } \sum\limits_{j = 1}^n {\overline {\langle x,{e_j}\rangle } } } \right)\left\langle {{e_i},{e_j}} \right\rangle  = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}} \]至此，我們得到
\[0 \leqslant {\left\| {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\|^2} = {\left\| x \right\|^2} - \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}} \]亦即
\[\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}}  \leqslant {\left\| x \right\|^2}\]注意到此式對任意 $n \in \mathbb{N}$ 皆成立，故取極限亦成立，
\[\sum\limits_{i = 1}^\infty  {{{\left| {\langle x,{e_i}\rangle } \right|}^2}}  \leqslant {\left\| x \right\|^2}\]至此得證。$\square$



Comments:
上述結果保證
\[
\sum_{i=1}^\infty | \langle x,e_i \rangle |^2  <\infty
\]



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FACT: 內積運算的一些常用性質
令 $H$ 為 Hilbert Space，取 $(e_1,e_2,...,e_n)$ 為一組向量 滿足 $e_i \in H$ 且 $x \in H$， $a_i,b_i \in \mathbb{C}$ 則我們有以下一些內積性質：
\[\left\{ \begin{gathered}
  \left\langle {\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} {e_i},x} \right\rangle  = \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \left\langle {x,{e_i}} \right\rangle  \hfill \\
  \left\langle {x,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} {e_i}} \right\rangle  = \sum\limits_{i = 1}^n {\overline {{b_i}} } \left\langle {x,{e_i}} \right\rangle  \hfill \\
  \left\langle {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} {e_i},\sum\limits_{j = 1}^n {{b_j}} {e_j}} \right\rangle  = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \sum\limits_{j = 1}^n {\overline {{b_j}} } \left\langle {{e_i},{e_j}} \right\rangle  \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]其中 $ {\bar a}$ 表示 對 $a$ 取 complex conjugate。
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[線性系統] 淺談 Normed Vector Space

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Definition: Vector Space
一個 向量空間 (Vector Space) 是由兩個運算元 $+, \cdot$ (向量加法 與 純量乘法) 以及一個 $0$ 元素 所定義，我們可記做
\[
(+, \cdot, 0)
\] ==================
一般而言 Vector Space 可視為 抽象化的  Euclidean space (有限維度 )；但 Vector Space 亦可為 無窮維度。

以下我們給出 三個線性系統理論 或者 數學分析 中常用的 Vector Space 作為例子：
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Examples: 
1. $\mathbb{R}^n, n=1,2,3,...$ 是一個向量空間
2. 連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 continuous function space，記做 $\cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
3. 有界 分段連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 bounded piecewise continuous function space，記做 $\cal{B}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
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Comments:
讀者可以自行檢驗上述兩個例子確實形成向量空間，比如說
令 $f$ 為連續函數，亦即 $ f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$，我們檢驗其兩個運算元與 0 元素 如下

1. 連續函數 $f_1$ + 連續函數 $f_2$ 仍為連續函數 亦即 $f_1 + f_2 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
2. 純量 $\alpha$ $\cdot$ 連續函數 $f$ 仍為連續函數 亦即 $\alpha f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
3. $0$ 為連續函數，亦即 $0 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$。

向量空間的子空間
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Definition: Subspace
令 $M$ 為向量空間 $X$ 的非空子集，我們稱 $M$ 為 $X$ 的 子空間(Subspace) 若下列條件成立：給定向量 $x,y \in M$ 且 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，則
$$
\alpha x + \beta y \in M
$$==================

向量空間可以相加嗎?
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Definition: Addition of Two Sets
令 $S$ 與 $T$ 分別為 向量空間 $X$ 的子集合，現在定義 $S+T$ 為所有向量具有 $s+t$ 的形式，其中 $s \in S$ 且 $t \in T$，亦即
\[
S+T:=\{s+t: s\in S, t \in T\}
\]==================

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Proposition: 令 $S$ 與 $T$ 為向量空間 $X$ 的子空間，則 $S+T$ 仍為 $X$ 的子空間
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Proof: Easy to verified. Omitted. 

現在如果我們 在 Vector Space 中引入廣義的長度 (稱為 Norm) 的概念，則這種 Vector Space 稱為 Normed Vector Space。 此目的在於一但我們有了長度，我們便可以在 Vector space 上定義什麼叫做連續性。以下我們給出 Norm 的定義。

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Definition: (Norm)
令 $X$ 為一實數取值的 Vector Space，我們說一個映射(mapping) $||\cdot|| : X \rightarrow \mathbb{R}$ 為一個 Norm，如果下列四個條件成立：
1. $||\mathbf{x} || \ge 0, \ \forall \mathbf{x} \in X$
2. $||\mathbf{x}|| = 0$ 若且為若 $\mathbf{x} =\mathbf{0}$
3. $||\lambda \mathbf{x}|| = |\lambda| ||\mathbf{x}||, \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \mathbf{x} \in X$
4. $||\mathbf{x} + \mathbf{y}|| \le ||\mathbf{x}|| + ||\mathbf{y}||, \ \forall \mathbf{x},\mathbf{y} \in X$
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Comment:
1. Norm: $||\cdot||$ 本質上亦為一連續函數。
2. 若條件2不成立，一般稱之為 semi-norm。


norm的訂法有許許多多，讀者可參閱此 BLOG的相關文章。因此，一個很自然的問題如下：給定兩個 norm，要如何去說此兩者之間的關係，以下我們給出兩個 norm 等價 的定義：

Definiton: Equivalence of Two Norms
令 $\|\cdot\|_1$ 與 $\|\cdot\|_2$ 為 向量空間 $X$ 上的 兩個 norm。我們說 此兩個 norm 為 equivalent 若下列條件成立：存在 $C_1,C_2>0$ 使得對任意 $x\in X$，
\[
C_1 \|x\|_1 \leq  \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1
\]

有了 Norm 的概念之後我們便可以將其引入 到 Vector Space 中：
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Definition: Normed Vector Space
一個 Normed Space 記做 $(V,||\cdot||)$ 其中 $V$ 為 Vector Space ， $||\cdot||$ 為 norm 滿足上述定義。
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Comment: 
1. 若令 $\rho(x,y):=\|x-y\|$ 則不難證明此函數 $\rho$ 為 metric on $X$。故任何 Normed Vector Space 必為 Metric Space (反之則非，考慮 discrete metric)


底下我們看幾個經典的 Normed Vector Space：


R^n Space ($\mathbb{R}^n$)

現在我們如果考慮 Vector Space  $X = \mathbb{R}^n$，則 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 可以記做
\[
\mathbf{x} = [x_1 \ x_2 \ ... \ x_n]^T
\]
一般在 $\mathbb{R}^n$ 空間常見的 Norm 有三種，但最主要最常見的稱為 $l^2$-norm，定義如下：
\[
||\mathbf{x}||_2 := \sqrt{\mathbf{x}^T}{\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_i^n x_i^2}
\] 另外兩個分別為 $l^1$-norm 與 $l^\infty$-nrom。
\[
||\mathbf{x}||_1 := \sum_{i=1}^n |x_i| \\
||\mathbf{x}||_\infty := \max_i |x_i|
\]

Comments:
一般而言，在線性系統理論中，Norm 的概念主要用在討論 連續性，收斂性(Convergence) 與 系統穩定度 (Stability) 相關議題。關於收斂性有興趣的讀者請參考：
[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂 (Pointwise Convergence & Uniform convergence)



連續函數所形成的函數空間: $\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
現在我們再看看如果我們取 Vector Space $X = \cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ ($X$ 現在為 Continuous Function Space)，若 $ f(t) \in  \cal{C}({[t_0, t_1], \mathbb{R}})$ (亦即 $f(t)$ 在 區間 $[t_0, t_1]$ 上為連續實數函數。)，則我們亦可定義 Norm 如下：
\[
||f|| := \max_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)|
\]另外常見的 Norm on function space  $ \cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 還有 $L^2$-norm:
\[
||f||_{L^2} := \sqrt{\int_{t_0}^{t_1} |f(t)|^2 dt}
\]
以下我們簡單驗證 $||f||$ 確實滿足我們前述的 norm的條件：
Proof: 注意到 $||f|| := \max_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)| \ge 0$ 且 $||f|| = 0$ 若且唯若 $f = 0$，接著我們驗證性質 3: 觀察
\[\begin{array}{l}
||\lambda f|| = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |\lambda f(t)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} \left| \lambda  \right||f(t)| = \left| \lambda  \right|\mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t)| = \left| \lambda  \right|\left\| f \right\|
\end{array}\]
最後我們驗證性質 4: （三角不等式）給定 $f,g \in C([t_0,t_1])$
\[\begin{array}{l}
||f + g|| = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t) + g\left( t \right)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} \left( {|f(t)| + |g\left( t \right)|} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t)| + \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |g\left( t \right)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = ||f|| + ||g||
\end{array}\]至此我們證明了上述的 norm 確實符合四個性質。$\square$


Bounded continuous function Space: $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
如果我們現在對上述 Continuous function space  $\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 做進一步拓展：考慮函數為 分段連續(piecewise continuous) 且 有界 (bounded)，亦即所有分段連續函數必須有界所組成的 function space 我們稱之為 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$，注意到
\[
\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R}) \supset \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})
\]
則此有界分段連續函數組成的 space 在區間 $t \in [t_0, t_1]$ 亦為 一個 Vector Space。我們檢驗如下：

1. 有界 分段連續函數 $f_1$ + 有界 分段連續函數 $f_2$ 仍為有界 分段連續函數 亦即 $f_1 + f_2 \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
2. 純量 $\alpha$ $\cdot$ 有界 分段連續函數 $f$ 仍為有界連續函數 亦即 $\alpha f \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
3. $0$ 為有界 分段連續函數，亦即 $0 \in \cal{B}[(t_0, t_1), \mathbb{R}]$。

知道 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 之後，現在我們可以在其上定義 norm。
\[
||f|| := \sup_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)|
\]
現在如果我們有許多個 $f(t)$ ，我們可將其收集起來寫成 向量的形式如下：

N-dimensional function vectors:
考慮 $f_i(t) \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}), \ \forall i = 1,...,n$，則我們可定義
\[{\bf{f}}(t): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1}(t)}\\
{{f_2}(t)}\\
 \vdots \\
{{f_n}(t)}
\end{array}} \right]
\]亦即上述函數向量 $\mathbf{f}(t) \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}^n)$，且 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}^n)$ 仍為一個 Vector Space。故我們仍可在其上定義 Norm 如下：
\[
||\mathbf{f}|| := \sup_{t \in [t_0, t_1]} ||\mathbf{f}(t)||
\]