[泛函分析] 幾何平均與算術平均不等式的一類推廣

回憶中學時期學過的 幾何平均與算術平均關係：令 $a,b \in \mathbb{R}$則 幾何平均 有 算術平均作為上界
$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$ 現在我們將上述結果做一類推廣

Claim: 令 $\theta \in (0,1)$ 且 $a, b \geq 0$則
$$a^{1-\theta}b^{\theta} \leq (1-\theta)a + \theta b$$
在給出證明之前我們先做出一些說明

Remarks:
1. 上述 claim 不等式左方：$a^{1-\theta}b^{\theta}$ 一般稱作廣義幾何平均 (Generalized Geometric Mean)。
2. 上述 claim 不等式右方：$(1-\theta)a + \theta b$ 有些學者將其稱作廣義算術平均 (Generalized Arthmic Mean)。但若有涉獵凸分析或者凸最優問題的讀者大概不難看出 此式具備 convex combinaiton 的形式。事實上此不等式在 與凸分析中的 log-convexity 有相關，讀者可自行查閱相關文獻。
3. 上述 Claim 一般又稱作 Auxiliary  Holder inequality.

以下我們給出 Claim 的證明。

Proof of the Claim: 首先做以下觀察：若 $a,b = 0$ 或任一為 $0$ 則不等式自動成立。故在不失一般性的情況下 我們設 $a \geq b >0$ 並且注意到 $a^{1-\theta} = a a^{-\theta}$ 故我們可改寫要證明的不等式如下
$$\begin{align*} \left(\frac{b}{a}\right)^\theta \leq (1-\theta) + \theta \frac{b}{a} \end{align*}$$
令 $x:=b/a$ 則 $x \in (0,1)$ 且我們僅需證明
$$x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x$$ 令 $g(x):=  1-\theta +\theta x - x^\theta$，注意到 $g(1) = 0$ 且 $g(0) = 1-\theta>0$
$$g'(x) = \theta -\theta x^{\theta-1} < \theta -\theta = 0$$ 亦即 $g'(x) <0$ 表示 $g$ 為在 $x \in (0,1)$ 處為遞減函數。故由 $g$ 的連續性，對 $x \in [0,1]$ 我們有
$$g(x) \geq 0$$ 此等價為
$$1-\theta +\theta x - x^\theta \geq 0$$ 同理
$$x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x$$ 上述即為我們待證的不等式，至此證明完畢。$\square$