[泛函分析] 幾何平均與算術平均不等式的一類推廣

回憶中學時期學過的 幾何平均與算術平均關係：令 $a,b \in \mathbb{R}$則 幾何平均 有 算術平均作為上界
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}
\]現在我們將上述結果做一類推廣

Claim: 令 $\theta \in (0,1)$ 且 $a, b \geq 0$則
\[
a^{1-\theta}b^{\theta} \leq (1-\theta)a + \theta b
\]
在給出證明之前我們先做出一些說明

Remarks:
1. 上述 claim 不等式左方：$a^{1-\theta}b^{\theta}$ 一般稱作廣義幾何平均 (Generalized Geometric Mean)。
2. 上述 claim 不等式右方：$(1-\theta)a + \theta b$ 有些學者將其稱作廣義算術平均 (Generalized Arthmic Mean)。但若有涉獵凸分析或者凸最優問題的讀者大概不難看出 此式具備 convex combinaiton 的形式。事實上此不等式在 與凸分析中的 log-convexity 有相關，讀者可自行查閱相關文獻。
3. 上述 Claim 一般又稱作 Auxiliary  Holder inequality.

以下我們給出 Claim 的證明。

Proof of the Claim: 首先做以下觀察：若 $a,b = 0$ 或任一為 $0$ 則不等式自動成立。故在不失一般性的情況下 我們設 $a \geq b >0$ 並且注意到 $a^{1-\theta} = a a^{-\theta}$ 故我們可改寫要證明的不等式如下
\begin{align*}
\left(\frac{b}{a}\right)^\theta \leq (1-\theta) + \theta \frac{b}{a}
\end{align*}
令 $x:=b/a$ 則 $x \in (0,1)$ 且我們僅需證明
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]令 $g(x):=  1-\theta +\theta x - x^\theta $，注意到 $g(1) = 0$ 且 $g(0) = 1-\theta>0$
\[
g'(x) = \theta -\theta x^{\theta-1} < \theta -\theta = 0
\]亦即 $g'(x) <0$ 表示 $g$ 為在 $x \in (0,1)$ 處為遞減函數。故由 $g$ 的連續性，對 $x \in [0,1]$ 我們有
\[
g(x) \geq 0
\]此等價為
\[
1-\theta +\theta x - x^\theta \geq 0
\]同理
\[
x^\theta \leq (1-\theta) +\theta x
\]上述即為我們待證的不等式，至此證明完畢。$\square$

[數學分析] 一類 分式與極小值 的不等式

Theorem
對任意 $i=1,...,m$，若 $a_i \geq 0$ 且 $b_i \geq 0$ 則下列不等式成立
\[
\frac{\sum_{i=1}^m a_i }{\sum_{i=1}^m b_i } \geq \min_i \frac{a_i}{b_i}
\]

Proof:
令 $i^*$ 為 某 index $i$ 使得 $\min_i \frac{a_i}{b_i}$ 成立，亦即 $i^*$ 滿足
\[\frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} = \mathop {\min }\limits_i \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]我們要證明定理中的不等式成立。以下以各個擊破的方法來求證：

CASE 1:首先注意到若 $a_{i^*} = 0$ 則我們欲證明的不等式自動成立。

CASE 2: 故 假設 $a_{i^*} >0$，注意到若 $b_{i^*} =0$ 則我們得到兩邊不等式為無窮，故不等式仍然成立，故我們不妨假設  $a_{i^*} >0$ 且 $b_{i^*} > 0$ (*)，現在觀察
\[
\frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{a_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{b_i}} }} = \frac{{{a_{{i^*}}} + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {{a_i}} }}{{{b_{{i^*}}} + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {{b_i}} }} = \frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}} } \right)}}\;\;\;\; (**)
\]注意到對任意 $i$ 而言，我們有
\[\frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]又因為 $(*)$ 我們可推得對任意 $i$ 而言，下式成立
\[\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}\]故
\[\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}} \Rightarrow 1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}}  \leqslant 1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} \]現在將此不等式代入 $(**)$ 我們得到
\[\frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}} } \right)}} \leqslant \frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}} = \frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}}\]亦即
\[\frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{a_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{b_i}} }} \leqslant \frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} = \mathop {\min }\limits_i \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]至此得證。$\square$