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10/30/2017

[數學分析] 一類 分式與極小值 的不等式

Theorem
對任意 i=1,...,m,若 ai0bi0 則下列不等式成立
mi=1aimi=1biminiaibi

Proof:
i 為 某 index i 使得 miniaibi 成立,亦即 i 滿足
aibi=miniaibi我們要證明定理中的不等式成立。以下以各個擊破的方法來求證:

CASE 1:首先注意到若 ai=0 則我們欲證明的不等式自動成立。

CASE 2: 故 假設 ai>0,注意到若 bi=0 則我們得到兩邊不等式為無窮,故不等式仍然成立,故我們不妨假設  ai>0bi>0 (*),現在觀察
mi=1aimi=1bi=ai+m1i=1aibi+m1i=1bi=ai(1+m1i=1aiai)bi(1+m1i=1bibi)()注意到對任意 i 而言,我們有
aibiaibi又因為 () 我們可推得對任意 i 而言,下式成立
bibiaiai
bibiaiai1+m1i=1bibi1+m1i=1aiai現在將此不等式代入 () 我們得到
ai(1+m1i=1aiai)bi(1+m1i=1bibi)ai(1+m1i=1aiai)bi(1+m1i=1aiai)=aibi亦即
mi=1aimi=1biaibi=miniaibi至此得證。

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