Theorem
對任意 i=1,...,m,若 ai≥0 且 bi≥0 則下列不等式成立
∑mi=1ai∑mi=1bi≥miniaibi
Proof:
令 i∗ 為 某 index i 使得 miniaibi 成立,亦即 i∗ 滿足
ai∗bi∗=miniaibi我們要證明定理中的不等式成立。以下以各個擊破的方法來求證:
CASE 1:首先注意到若 ai∗=0 則我們欲證明的不等式自動成立。
CASE 2: 故 假設 ai∗>0,注意到若 bi∗=0 則我們得到兩邊不等式為無窮,故不等式仍然成立,故我們不妨假設 ai∗>0 且 bi∗>0 (*),現在觀察
m∑i=1aim∑i=1bi=ai∗+m−1∑i=1aibi∗+m−1∑i=1bi=ai∗(1+m−1∑i=1aiai∗)bi∗(1+m−1∑i=1bibi∗)(∗∗)注意到對任意 i 而言,我們有
ai∗bi∗⩽aibi又因為 (∗) 我們可推得對任意 i 而言,下式成立
bibi∗⩽aiai∗故
bibi∗⩽aiai∗⇒1+m−1∑i=1bibi∗⩽1+m−1∑i=1aiai∗現在將此不等式代入 (∗∗) 我們得到
ai∗(1+m−1∑i=1aiai∗)bi∗(1+m−1∑i=1bibi∗)⩽ai∗(1+m−1∑i=1aiai∗)bi∗(1+m−1∑i=1aiai∗)=ai∗bi∗亦即
m∑i=1aim∑i=1bi⩽ai∗bi∗=miniaibi至此得證。◻
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya
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