[訊號與系統] Frequency Modulation 淺嚐：Chirp Signal

回憶一般 弦波訊號
$$z(t) = A \cos(2 \pi f_0 t + \phi) = Re\{A e^{j (2 \pi f_0 t + \phi)}\}$$ 其中 $A$ 為振幅 ，$f_0$ 為頻率，$\phi$ 為相位。由上式，我們可以定義 $z(t)$ 的 "角度" 記作
$$\psi(t) := 2 \pi f_0 t + \phi$$ 由於上式為 linear in $t$ ，我們可觀察
$$\frac{d}{dt} \psi(t) = 2 \pi f_0 := \omega_i(t)$$ 故 $z(t)$ 的角度 隨時間的瞬時變化率 為 $2 \pi f_0$  其單位為 (rad/s) ，若我們將其除掉 $2\pi$ 即可得到 (瞬時)頻率 $f_0$ (單位為 Hz)。

上述想法可以被進一步推廣如下：

Frequency Modulation (FM) Signal
現在我們將上述 $z(t)$ 做進一步簡單的推廣：假設
$$x(t) := A \cos(\psi (t)) = Re\{e^{j \psi(t)}\}$$ 則我們可仿造前述的方法來定義 瞬時頻率 (instantaneous frequency)，亦即我們先對 $\psi(t)$ 對 $t$ 微分，可得瞬時角頻率 (instantaneous angular frequency)
$$\omega_i(t) :=  \frac{d}{dt} \psi(t)$$ 若對上式兩邊同除以 $2 \pi$ ，可得瞬時頻率 (instantaneous frequency)， 記作 $f_i(t)$， 如下
$$f_i(t) :=\frac{1}{2\pi}\omega_i(t) =  \frac{1}{2 \pi} \frac{d}{dt} \psi(t)$$ 單位為 Hz。

以下我們看個 FM 調頻中的一類特殊例子，假設我們想要創造一組 弦波訊號 使其 頻率可以包含一段我們感興趣頻段，比如說我們想創造一組聲音其頻率 從 300 Hz 並且一路往上到 800 Hz，一種常見的做法是採用 chirp signal 來達成，其特性如下：給定初始頻率 $f_{int}$ 與 終點頻率 $f_{end}$， chirp signal 保證訊號頻率在 $f_{int}$ 到 $f_{end}$ 之間以連續且線性方式改變(比如遞增或者遞減)，故此法又稱線性調頻。

FM Signal Example: Chirp, or Linear Swept Frequency or Linear FM
以下我們考慮一類特殊的 FM 訊號，亦即我們取
$$\psi(t) := 2\pi \mu t^2 + 2\pi f_0 t+\phi$$ 則對應的瞬時頻率為
$$f_i(t) := \frac{1}{2 \pi} \frac{d}{dt} \psi(t)  = 2 \mu t + f_0$$ 亦即我們發現瞬時頻率隨時間遞增，且在 $t=0$時後我們有 起始頻率 $f_0$。讀者可使用 下列 matlab code 來聽聽看 chirp 訊號 (起始的 瞬時頻率為 300Hz 一路往上到 800Hz)：

% Generate an play a chirp signal

fsamp = 11025; % sampling frequency

dur = 2;

mu = 125;

Amp = 6;

f0 = 300;

dt = 1/fsamp;

tt = 0 : dt : dur;

psi = 2*pi*(100 + f0*tt + mu*tt.*tt);

xx = real( Amp*exp(j*psi) );

soundsc( xx, fsamp );