[訊號與系統] Amplitude Modulation 淺嚐：Beat Signal

回憶一般 弦波訊號
\[
x(t) := A \cos(2 \pi f_c t + \phi)
\] 其中 $A$ 為振幅，$f_c$ 為 (載波) 頻率，$\phi$ 為相位。現在我們考慮將上述弦波做進一步簡單的推廣如下：假設 振幅 $A$ 不再是常數，而是隨時間變化的函數 比如 $A:=a(t)$ ，則我們得到\[
x(t) = a(t) \cos(2\pi f_c t +\phi)
\] 上述稱為 振幅調變 (Amplitude Modulation) 的一般形式，其中 $a(t)$ 為 依時間變化的函數 且一般而言，假設 $a(t)$ 的最高頻率 $f_a << f_c$。

Comments:
1. 震幅 $a(t)$ 隨時間變化，可看成 振幅 被 "調變"(modulation)
2. 一般實際應用上， $a(t)$ 為多半為實際帶有信息的訊號 (比如 聲音，歌聲，影像...) 且其最高頻率會遠遠低於 載子頻率 $f_c$ ，使得我們在做 AM 處理之後，$a(t)$ 訊號可被方便傳送。
3. 當然，對於 $z(t)$ 的推廣不僅僅限於頻率，我們也可以對其頻率推廣，比如說將固定 $f_c$ 改成 $f_c:=\psi(t)$ 使其成為與時間有關的函數，此法會得到所謂的 頻率調變(Frequency Modulation, FM) 我們會另外再開一篇文章描述之，在此不做贅述。

以下我們看個經典的AM例子：

AM Example: Beat Signal or Sinusoidal AM
以下我們看個特例：假設 $a(t) := A \cos(2 \pi f_a t)$ 則我們得到 AM 訊號如下
\[
x(t) = A \cos(2 \pi f_a t)  \cos(2\pi f_c t +\phi)
\]上述訊號可以透過 Inverse Euler formula 將其改寫為
\begin{align*}
  x(t) &= A\cos (2\pi {f_a}t)\cos (2\pi {f_c}t) \hfill \\
   &= A \left( \frac{{{e^{j2\pi {f_a}t}} + {e^{ - j2\pi {f_a}t}}}}{2} \right) \left( \frac{{{e^{j\left( {2\pi {f_c}t} \right)}} + {e^{ - j\left( {2\pi {f_c}t} \right)}}}}{2} \right) \hfill \\
   &= \frac{A}{4}\left( {{e^{j2\pi {f_a}t}} + {e^{ - j2\pi {f_a}t}}} \right)\left( {{e^{j\left( {2\pi {f_c}t} \right)}} + {e^{ - j\left( {2\pi {f_c}t} \right)}}} \right) \hfill \\
   &= \frac{A}{4}\left( {{e^{j2\pi \left( {{f_a} + {f_c}} \right)t}} + {e^{ - j2\pi \left( {{f_a} + {f_c}} \right)t}} + {e^{j2\pi \left( {{f_a} - {f_c}} \right)t}} + {e^{ - j2\pi \left( {{f_a} - {f_c}} \right)t}}} \right) \hfill \\
   &= \frac{A}{2}\cos \left( {2\pi \left( {{f_a} + {f_c}} \right)t} \right) + \frac{A}{2}\cos \left( {2\pi \left( {{f_a} - {f_c}} \right)t} \right) \hfill \\
\end{align*}
Comments:
1. 上述 $x(t)$ 可表為 兩弦波相加，一般又稱之為 beat signal，生活上的實際應用為比如說同時按下兩兩相鄰的鋼琴琴鍵。
2. 我們有兩種觀點看上述的 Beat Signal，首先是 $x(t)$ 可以視為是 震幅隨時間變化的弦波，故若使用 MATLAB 的 soundsc(.) 函數播放，則聲音聽起來會是漸強在接漸弱，第二種觀點則是上述 $x(t)$ 為兩個具有不同頻率 ($f_c+f_a$ 與 $f_c-f_a$)的 弦波相加，那麼聽起來便會是兩種弦波分別以不同頻率產生的聲音疊加而成。
3. 那麼該如何分辨何時只聽得到一組漸強漸弱得弦波 或者 聽到 不同頻率的弦波？ 以下有一個一般性的判斷法則：令 $T$ 為 $x(t)$ 的最終持續時間，且定義 "頻寬" $B:= 2 f_a$ ，若
\[
T\cdot B <<1
\]則一般而言我們沒有辦法到底是一組弦波或者兩個不同頻率得弦波。此議題等價物理中的 Heisenberg's Uncertainty Principle。