[機率論] 關於配備 Pareto Density 隨機變數 的一個簡單例子

令 $X$ 為隨機變數配備標準 Pareto density，亦即其機率密度函數 $f_X$ 滿足
\[f_X\left( x \right): = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{2}{{{x^3}}}\begin{array}{*{20}{c}}
  {}&{x \geqslant 1}
\end{array} \hfill \\
  0\begin{array}{*{20}{c}}
  {}&{o.w.}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]
(a) 對任意 $a \geq 1$ 試求 $P(X \geq a)$
(b) 延續 (a)，利用 Markov inequality 求其上界。

Proof (a)
\begin{align*}
  P(X \geqslant a) &= 1 - P\left( {X < a} \right) \hfill \\
   &= 1 - \int_1^a {\frac{2}{{{x^3}}}dx}  \hfill \\
   &= 1 - 2\left( {\left. {\frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right|_1^a} \right) \hfill \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}} \hfill \\
\end{align*}

Comments: 讀者可注意到上述結果亦可 透過直接計算
\[P\left( {X \geqslant a} \right) = \int_a^\infty  {\frac{2}{{{x^3}}}dx}  = 2\left( {\frac{1}{{ - 2}}\left. {{x^{ - 2}}} \right|_a^\infty } \right) = {a^{ - 2}}\]


Proof (b):
注意到 $X$ 為取值非負隨機變數，故對任意 $a \geq 1$，利用 Markov inequality, 我們有
\begin{align*}
  P(X \geqslant a) &\leqslant \frac{{E\left[ X \right]}}{a} \hfill \\
   &= \frac{1}{a}\int_{ - \infty }^\infty  {x{f_X}\left( x \right)dx}  \hfill \\
   &= \frac{1}{a}\int_1^\infty  {x\frac{2}{{{x^3}}}dx}  \hfill \\
   &= \frac{2}{a}\int_1^\infty  {\frac{1}{{{x^2}}}dx}  \hfill \\
   &=  - \frac{2}{a}\left( {\left. {{x^{ - 1}}} \right|_1^\infty } \right) =  - \frac{2}{a}\left( {0 - 1} \right) = \frac{2}{a} \hfill \\
\end{align*}

Comments:
1. 注意到上述 (b) 部分透過 Markov inequality 所得到的上界只有在 $a \geq 2$ 才有效力，因為當 $a \in [1,2]$ 之間時，我們得到 $2/a >1$。但由於機率測度不能超過 $1$，上述 $2/a$ 上界在 $a \in [1,2]$ 之間對我們的 $P(X \geq a)$ 的估計並無任何幫助。


2. 注意到 $a \geq 1$ 故不難得證
\[\frac{1}{{{a^2}}} \leqslant \frac{2}{a} \] 此說明了在此分佈之下，利用 Markov inequality 所得到的機率上界過鬆。下圖顯示了 $a \in [1,5]$ 的機率 與 Markov inequality所得的上界