[數學分析] 一類 max/min operator 作用在分式 的等式

令函數 $f: \mathbb{N} \to (0,\infty)$，則下列等式成立
$$
\min_{0 \leq k \leq N} \frac{f(k)}{\max_{i\leq k}f(i)} = \min_{0\leq \ell \leq k \leq N} \frac{f(k)}{f(\ell)}
$$

Proof: 令
$$\frac{f(k_0)}{f(\ell_0)} := \min_{0\leq k\leq N}\frac{f(k)}{ \max_{i\leq k} f(i)}
$$ 其中 $\ell_0\leq k_0$ 使得  $\text{min}_{0\leq\ell\leq k\leq N}\frac{f(k)}{f(\ell)}\leq\frac{f(k_0)}{f(\ell_0)}$。

另一方面，令
$$\frac{f(k_1)}{f(\ell_1)}= \min_{0\leq\ell\leq k\leq N}\frac{f(k)}{f(\ell)}
$$ 且 $\ell_1\leq k_1$，則我們必定有
$$\frac{f(k_0)}{f(\ell_0)}\leq\frac{f(k_1)}{ \max_{i\leq k_1}\;f(i)}\leq\frac{f(k_1)}{f(\ell_1)}$$
由上述結果，我們得到
$$
\frac{f(k_0)}{f(\ell_0)}=\frac{f(k_1)}{f(\ell_1)}
$$ 亦即
$$\min_{0\leq k\leq N}\frac{f(k)}{ \max_{i\leq k} f(i)}= \min_{0\leq\ell\leq k\leq N}\frac{f(k)}{f(\ell)}$$ 至此得證。$\square$

[數學分析] 一類 分式與極小值 的不等式

Theorem
對任意 $i=1,...,m$，若 $a_i \geq 0$ 且 $b_i \geq 0$ 則下列不等式成立
\[
\frac{\sum_{i=1}^m a_i }{\sum_{i=1}^m b_i } \geq \min_i \frac{a_i}{b_i}
\]

Proof:
令 $i^*$ 為 某 index $i$ 使得 $\min_i \frac{a_i}{b_i}$ 成立，亦即 $i^*$ 滿足
\[\frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} = \mathop {\min }\limits_i \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]我們要證明定理中的不等式成立。以下以各個擊破的方法來求證：

CASE 1:首先注意到若 $a_{i^*} = 0$ 則我們欲證明的不等式自動成立。

CASE 2: 故 假設 $a_{i^*} >0$，注意到若 $b_{i^*} =0$ 則我們得到兩邊不等式為無窮，故不等式仍然成立，故我們不妨假設  $a_{i^*} >0$ 且 $b_{i^*} > 0$ (*)，現在觀察
\[
\frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{a_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{b_i}} }} = \frac{{{a_{{i^*}}} + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {{a_i}} }}{{{b_{{i^*}}} + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {{b_i}} }} = \frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}} } \right)}}\;\;\;\; (**)
\]注意到對任意 $i$ 而言，我們有
\[\frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]又因為 $(*)$ 我們可推得對任意 $i$ 而言，下式成立
\[\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}\]故
\[\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}} \leqslant \frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}} \Rightarrow 1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}}  \leqslant 1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} \]現在將此不等式代入 $(**)$ 我們得到
\[\frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{b_i}}}{{{b_{{i^*}}}}}} } \right)}} \leqslant \frac{{{a_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}}{{{b_{{i^*}}}\left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^{m - 1} {\frac{{{a_i}}}{{{a_{{i^*}}}}}} } \right)}} = \frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}}\]亦即
\[\frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{a_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{b_i}} }} \leqslant \frac{{{a_{{i^*}}}}}{{{b_{{i^*}}}}} = \mathop {\min }\limits_i \frac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\]至此得證。$\square$