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2/09/2020

[數學分析] 一類 max/min operator 作用在分式 的等式

令函數 f:N(0,),則下列等式成立
min0kNf(k)maxikf(i)=min0kNf(k)f()

Proof: 
f(k0)f(0):=min0kNf(k)maxikf(i) 其中 0k0 使得  min0kNf(k)f()f(k0)f(0)

另一方面,令
f(k1)f(1)=min0kNf(k)f()1k1,則我們必定有
f(k0)f(0)f(k1)maxik1f(i)f(k1)f(1)
由上述結果,我們得到
f(k0)f(0)=f(k1)f(1) 亦即
min0kNf(k)maxikf(i)=min0kNf(k)f() 至此得證。

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