[線性系統] 淺談 Normed Vector Space

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Definition: Vector Space
一個 向量空間 (Vector Space) 是由兩個運算元 $+, \cdot$ (向量加法 與 純量乘法) 以及一個 $0$ 元素 所定義，我們可記做
\[
(+, \cdot, 0)
\] ==================
一般而言 Vector Space 可視為 抽象化的  Euclidean space (有限維度 )；但 Vector Space 亦可為 無窮維度。

以下我們給出 三個線性系統理論 或者 數學分析 中常用的 Vector Space 作為例子：
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Examples: 
1. $\mathbb{R}^n, n=1,2,3,...$ 是一個向量空間
2. 連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 continuous function space，記做 $\cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
3. 有界 分段連續函數 $f(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 所形成的集合亦為一個向量空間 (此稱為 bounded piecewise continuous function space，記做 $\cal{B}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$.
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Comments:
讀者可以自行檢驗上述兩個例子確實形成向量空間，比如說
令 $f$ 為連續函數，亦即 $ f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$，我們檢驗其兩個運算元與 0 元素 如下

1. 連續函數 $f_1$ + 連續函數 $f_2$ 仍為連續函數 亦即 $f_1 + f_2 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
2. 純量 $\alpha$ $\cdot$ 連續函數 $f$ 仍為連續函數 亦即 $\alpha f \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$
3. $0$ 為連續函數，亦即 $0 \in \cal{C}( [t_0, t_1], \mathbb{R})$。

向量空間的子空間
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Definition: Subspace
令 $M$ 為向量空間 $X$ 的非空子集，我們稱 $M$ 為 $X$ 的 子空間(Subspace) 若下列條件成立：給定向量 $x,y \in M$ 且 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，則
$$
\alpha x + \beta y \in M
$$==================

向量空間可以相加嗎?
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Definition: Addition of Two Sets
令 $S$ 與 $T$ 分別為 向量空間 $X$ 的子集合，現在定義 $S+T$ 為所有向量具有 $s+t$ 的形式，其中 $s \in S$ 且 $t \in T$，亦即
\[
S+T:=\{s+t: s\in S, t \in T\}
\]==================

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Proposition: 令 $S$ 與 $T$ 為向量空間 $X$ 的子空間，則 $S+T$ 仍為 $X$ 的子空間
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Proof: Easy to verified. Omitted. 

現在如果我們 在 Vector Space 中引入廣義的長度 (稱為 Norm) 的概念，則這種 Vector Space 稱為 Normed Vector Space。 此目的在於一但我們有了長度，我們便可以在 Vector space 上定義什麼叫做連續性。以下我們給出 Norm 的定義。

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Definition: (Norm)
令 $X$ 為一實數取值的 Vector Space，我們說一個映射(mapping) $||\cdot|| : X \rightarrow \mathbb{R}$ 為一個 Norm，如果下列四個條件成立：
1. $||\mathbf{x} || \ge 0, \ \forall \mathbf{x} \in X$
2. $||\mathbf{x}|| = 0$ 若且為若 $\mathbf{x} =\mathbf{0}$
3. $||\lambda \mathbf{x}|| = |\lambda| ||\mathbf{x}||, \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \mathbf{x} \in X$
4. $||\mathbf{x} + \mathbf{y}|| \le ||\mathbf{x}|| + ||\mathbf{y}||, \ \forall \mathbf{x},\mathbf{y} \in X$
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Comment:
1. Norm: $||\cdot||$ 本質上亦為一連續函數。
2. 若條件2不成立，一般稱之為 semi-norm。


norm的訂法有許許多多，讀者可參閱此 BLOG的相關文章。因此，一個很自然的問題如下：給定兩個 norm，要如何去說此兩者之間的關係，以下我們給出兩個 norm 等價 的定義：

Definiton: Equivalence of Two Norms
令 $\|\cdot\|_1$ 與 $\|\cdot\|_2$ 為 向量空間 $X$ 上的 兩個 norm。我們說 此兩個 norm 為 equivalent 若下列條件成立：存在 $C_1,C_2>0$ 使得對任意 $x\in X$，
\[
C_1 \|x\|_1 \leq  \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1
\]

有了 Norm 的概念之後我們便可以將其引入 到 Vector Space 中：
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Definition: Normed Vector Space
一個 Normed Space 記做 $(V,||\cdot||)$ 其中 $V$ 為 Vector Space ， $||\cdot||$ 為 norm 滿足上述定義。
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Comment: 
1. 若令 $\rho(x,y):=\|x-y\|$ 則不難證明此函數 $\rho$ 為 metric on $X$。故任何 Normed Vector Space 必為 Metric Space (反之則非，考慮 discrete metric)


底下我們看幾個經典的 Normed Vector Space：


R^n Space ($\mathbb{R}^n$)

現在我們如果考慮 Vector Space  $X = \mathbb{R}^n$，則 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 可以記做
\[
\mathbf{x} = [x_1 \ x_2 \ ... \ x_n]^T
\]
一般在 $\mathbb{R}^n$ 空間常見的 Norm 有三種，但最主要最常見的稱為 $l^2$-norm，定義如下：
\[
||\mathbf{x}||_2 := \sqrt{\mathbf{x}^T}{\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_i^n x_i^2}
\] 另外兩個分別為 $l^1$-norm 與 $l^\infty$-nrom。
\[
||\mathbf{x}||_1 := \sum_{i=1}^n |x_i| \\
||\mathbf{x}||_\infty := \max_i |x_i|
\]

Comments:
一般而言，在線性系統理論中，Norm 的概念主要用在討論 連續性，收斂性(Convergence) 與 系統穩定度 (Stability) 相關議題。關於收斂性有興趣的讀者請參考：
[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂 (Pointwise Convergence & Uniform convergence)



連續函數所形成的函數空間: $\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
現在我們再看看如果我們取 Vector Space $X = \cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ ($X$ 現在為 Continuous Function Space)，若 $ f(t) \in  \cal{C}({[t_0, t_1], \mathbb{R}})$ (亦即 $f(t)$ 在 區間 $[t_0, t_1]$ 上為連續實數函數。)，則我們亦可定義 Norm 如下：
\[
||f|| := \max_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)|
\]另外常見的 Norm on function space  $ \cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 還有 $L^2$-norm:
\[
||f||_{L^2} := \sqrt{\int_{t_0}^{t_1} |f(t)|^2 dt}
\]
以下我們簡單驗證 $||f||$ 確實滿足我們前述的 norm的條件：
Proof: 注意到 $||f|| := \max_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)| \ge 0$ 且 $||f|| = 0$ 若且唯若 $f = 0$，接著我們驗證性質 3: 觀察
\[\begin{array}{l}
||\lambda f|| = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |\lambda f(t)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} \left| \lambda  \right||f(t)| = \left| \lambda  \right|\mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t)| = \left| \lambda  \right|\left\| f \right\|
\end{array}\]
最後我們驗證性質 4: （三角不等式）給定 $f,g \in C([t_0,t_1])$
\[\begin{array}{l}
||f + g|| = \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t) + g\left( t \right)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} \left( {|f(t)| + |g\left( t \right)|} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |f(t)| + \mathop {\max }\limits_{t \in [{t_0},{t_1}]} |g\left( t \right)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = ||f|| + ||g||
\end{array}\]至此我們證明了上述的 norm 確實符合四個性質。$\square$


Bounded continuous function Space: $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
如果我們現在對上述 Continuous function space  $\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 做進一步拓展：考慮函數為 分段連續(piecewise continuous) 且 有界 (bounded)，亦即所有分段連續函數必須有界所組成的 function space 我們稱之為 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$，注意到
\[
\cal{C}([t_0, t_1], \mathbb{R}) \supset \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})
\]
則此有界分段連續函數組成的 space 在區間 $t \in [t_0, t_1]$ 亦為 一個 Vector Space。我們檢驗如下：

1. 有界 分段連續函數 $f_1$ + 有界 分段連續函數 $f_2$ 仍為有界 分段連續函數 亦即 $f_1 + f_2 \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
2. 純量 $\alpha$ $\cdot$ 有界 分段連續函數 $f$ 仍為有界連續函數 亦即 $\alpha f \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$
3. $0$ 為有界 分段連續函數，亦即 $0 \in \cal{B}[(t_0, t_1), \mathbb{R}]$。

知道 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R})$ 之後，現在我們可以在其上定義 norm。
\[
||f|| := \sup_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)|
\]
現在如果我們有許多個 $f(t)$ ，我們可將其收集起來寫成 向量的形式如下：

N-dimensional function vectors:
考慮 $f_i(t) \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}), \ \forall i = 1,...,n$，則我們可定義
\[{\bf{f}}(t): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1}(t)}\\
{{f_2}(t)}\\
 \vdots \\
{{f_n}(t)}
\end{array}} \right]
\]亦即上述函數向量 $\mathbf{f}(t) \in \cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}^n)$，且 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}^n)$ 仍為一個 Vector Space。故我們仍可在其上定義 Norm 如下：
\[
||\mathbf{f}|| := \sup_{t \in [t_0, t_1]} ||\mathbf{f}(t)||
\]