跳到主要內容

[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(1)- sequence of functions

這次要介紹的是數學分析中關於函數收斂性 的 兩個非常重要的觀念: Pointwise convergence (逐點收斂) Uniform convergence (均勻收斂) 。

不過在談函數的收斂之前,我們需要先知道到底是誰要收斂? 在此我們所指的函數的收斂為考慮 函數 sequence  (也就是 函數 所形成的數列) 的收斂 。以下我們稱 $\{f_k \}_{k=1}^{\infty}$ 為一個 函數 sequence,其中 $f_k$ 為該數列中第 $k$ 個元素函數。

有了上述定義,我們便可以引入 這樣的函數到底如何收斂,首先我們介紹 函數 sequence 逐點收斂 的概念:
======================
Definition (Pointwise Convergence)
我們說一個 函數的 sequence $\{ f_k(t)\}_{k=1}^\infty $ 逐點收斂(converges pointwise) 到 某函數 $f(t)$ 若下列條件成立:
對任意 $ t \in [t_0, t_1]$
\[
 \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}(t) = f(t)
\]======================

Comment:
1. 上述定義清楚的說明甚麼是逐點收斂。注意到第一個條件是 對任意 $t \in [t_0, t_1]$;也就是說 如果我們固定 $t$在某個閉區間範圍 $[t_0, t_1]$,在該時刻 $t$,我們的函數sequence $f_k(t) \rightarrow f(t)$ 對每一點時刻都成立。故稱為逐點收斂。

2. $f_k(t) \rightarrow f(t)  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}(t)$ 在數學分析內容中,通常會更精確陳述為:
給定 $t \in [t_0,t_1]$, 對任意 $\varepsilon >0$ 存在一個夠大的 $N>0$ 使得 當 $n \ge N \Rightarrow |f_k(t) - f(t)| < \varepsilon$


下面給個例子說明Pointwise Convergence的概念:

Example (Pointwise Convergence)
考慮 $t \in [0, 1]$且我們的函數sequence
\[
{f_k}\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{ - tk}}\cos kt + 2}\\
{{e^{ - 2tk}}\cos kt + t}
\end{array}} \right]
\]
則我們現在固定任意 $t \in [0,1]$ ,並檢驗當 $k \rightarrow \infty$ 的時候會發生甚麼事情?
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{ - tk}}\cos kt + 2}\\
{{e^{ - 2tk}}\cos kt + t}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
t
\end{array}} \right]
\]上式告訴我們對每一個固定的 $t \in [0,1]$ 我們都有
\[{f_k}(t) \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
t
\end{array}} \right]
\]亦即 ${f_k}(t)$ 逐點收斂到 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
t
\end{array}} \right]$

注意到,儘管convergence pointwise 看起來似乎是很強的收斂條件,但其實我們很難從此種收斂中得出一些我們感興趣的性質 (比如說 此函數sequence原本為連續函數,那麼其對應的極限函數 $f$ 是否仍為連續? 或者原函數squence 可微(積)分,那麼對應的極限函數 $f$ 是否也可微(積)分?) 事實上並無法被保證。

比如說考慮下圖 (點圖放大)


若以式子描述則為 \[{f_k}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}t \le 0}\\ {kt,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}0 < t < \frac{1}{k}}\\ {1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}t \ge \frac{1}{k}} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} \to \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {f_k}\left( t \right) = f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}t \le 0}\\ {1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}t > 0} \end{array}} \right.\] 左圖 $f_k$ 為連續函數。 但現在如果我們固定任意 $t$,並且讓 $k \rightarrow \infty$,我們得到的 $f$ 為一個step function,故連續性再逐點收斂中並沒有被保證。


故我們需要一個比逐點收斂更強的收斂。稱作均勻收斂 (Uniform convergence)

======================
Definition: (Uniform Convergence)
我們說一個 函數的 sequence $\{ f_k\}_{k=1}^\infty $ 均勻收斂(converges uniformly) 到 某函數 $f$ 若下列條件成立:
\[
||f_k - f || \rightarrow 0 \ \text{as $k \rightarrow \infty$} \\
\text{or}\\
 \ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left\| {{f_k} - f} \right\| = 0
\]======================

Comments
1. 上述定義不再要求 $t$,亦即與 $t$ 無關 (Uniform means total lack of restriction on $t$)。

2. $ ||f || := \displaystyle \sup_{t \in [t_0, t_1]} |f(t)|$;亦即我們的函數的norm是取sup norm of function (or so-called uniform norm, or infinity norm)

現在我們看個例子:

Example :
考慮 $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,且
$$f_n(x):=\frac{x^2+nx}{n}
$$ 1. 試求當 $n \to \infty$ 其極限為何?
2. 試判斷是否均勻收斂至其極限?

Solution
1. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x^2} + nx}}{n} = x\]
2. 檢驗其是否均勻收斂至 $x$ 我們可檢驗其 supnorm 是否收斂到 $0$
\[\left\| {{f_n} - f} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{x \in {\rm{R}}} \left| {\frac{{{x^2} + nx}}{n} - x} \right| = \mathop {\sup }\limits_{x \in {\rm{R}}} \left| {\frac{{{x^2}}}{n}} \right|\]注意到若取 $x := \sqrt{n} \in \mathbb{R}$ 其 supnorm $=1$ 故不收斂到 $0$;因此 此例 $f_n(x)$ 並無均勻收斂到 $x$。$\square$


接著我們看個重要的結果,也就是均勻收斂保證 逐點收斂。

==================
FACT: $f_k$ converges uniformly to $f$ $\Rightarrow$ $f_k$ converges pointwise to $f$ 
==================
Proof:
固定 $t \in [t_0, t_1]$,我們要證明 $f_k \rightarrow f$ pointwise,亦即要證明
\[
\lim_{k \rightarrow \infty}|f_k(t) - f(t) | =0
\]故我們觀察
\[
|f_k(t) - f(t) | \le \displaystyle \sup_{t \in [t_0, t_1]}|f_k(t) - f(t) | = ||f_k - f ||
\] 又因為 $f_k \rightarrow f$ uniformly,故我們知道
\[
 ||f_k - f || \rightarrow 0
\] 亦即 Uniformly convergence $\Rightarrow$ Pointwise Convergence $\square$。


均勻收斂 保證 連續性。
==================
FACT: 令 $\{f_k\}: X \to \mathbb{R}$ 為 連續函數 sequence;若 $f_n \to f$ 均勻收斂,則 $f$ 為連續函數 (連續性被保持)
==================
(Proof is omitted.)
回頭再檢驗一下我們剛剛的圖

其並非均勻收斂 (WHY??) 由均勻收斂定義,我們計算其sup norm看看發生甚麼事:
\[
\left\| {{f_k} - f} \right\| = \sup_t \left| {{f_k}\left( t \right) - f\left( t \right)} \right| = 1 \ne 0
\]
WHY supnorm = 1?? 由定義我們是找 "兩者間差異" 取 sup,也就是找 $f_k - f$的差異最大的時候,那麼兩者間最大差異為1 不為0,亦即不均勻收斂。(失去連續性)


==================
FACT: 若 $\{ f_k \}_{k=1}^\infty$ converges uniformly to $f$ 若且唯若 $\{ f_k \}_{k=1}^\infty$  為 Cauchy sequence。亦即;對所有的 $\varepsilon > 0$, 存在一個 $K \in \mathbb{N}$ 使得 對所有的 $j,k \geq K$,我們有 \[ ||f_j - f_k|| < \varepsilon \]==================


接著我們看一個 Uniform Convergence 的結果:如果我們確認某函數 sequence  $\{ f_k \}$ 均勻收斂到 某極限函數 $f$,則 對其取積分再取極限 等價 取極限再取積分。(亦即 積分與極限次序可以互換)!!

==================
Theorem
令 $\{ f_k \}_{k=1}^\infty$ 為在有界 分段連續函數空間 $\cal{B}([t_0, t_1], \mathbb{R}^n)$ 的 sequence,且均勻收斂到 $f$。則
\[
\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} \int_{t_0}^{t_1} f_k(t) dt = \int_{t_0}^{t_1} f(t) dt
\]==================

Proof
首先計算下列兩積分的差
\[\begin{array}{l}
\left\| {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{f_k}} (t)dt - \int_{{t_0}}^{{t_1}} f (t)dt} \right\| = \left\| {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{f_k}} (t) - f(t)dt} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left\| {{f_k}(t) - f(t)} \right\|} dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\sup \left\| {{f_k}(t) - f(t)} \right\|} dt = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left\| {{f_k} - f} \right\|} dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left\| {{f_k} - f} \right\|\int_{{t_0}}^{{t_1}} 1 dt = \underbrace {\left\| {{f_k} - f} \right\|}_{ \to 0}\left( {{t_1} - {t_0}} \right)
\end{array}
\]故
\[
\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} \int_{t_0}^{t_1} f_k(t) dt = \int_{t_0}^{t_1} f(t) dt. \ \ \ \ \square
\]

延伸閱讀
[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(2) - Series version
[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(3) - Differentiation property

留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if  ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做  若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。 在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種 雙條件句 ,通常可以直接將其視為" 定義(Definition)" 待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他 假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B. 注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。 現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B" 好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢? 事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是 "( A if B ) and ( A only if B )" 那麼先針對第一個部分  A if B  來看, 其實這句就是說  if B then A, 更直白一點就是 "if B is true, then A is also true".  在數學上等價可以寫為 "B implies A" .  或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A"  現在針對第二個部分  A only if B 此句意指  "If B is not true, then A is also not true". 所以如果已知 A is true,  那麼按照上句不難推得 B is also true 也就是說  A only if B  等價為 "If A is true then B is also true". 同樣,也可以寫作   "A implies B"   或者用箭頭表示  "A   $\Rightarrow$     B".

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣), 也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。 事實上想法是這樣的: 比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "! 但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說 \[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T \]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$??? 再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right] \],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。 也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。 故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來) ================== Definition: Norm 考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質