[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(4) - Uniform boundedness and Equicontinuity

回憶對於 實數sequence 而言，我們有以下結果：
=================
Theorem: Convergence of Real Numbers 
1. 若 $\{p_n \}$ 為一個在 compact metric space $X$ 的實數 sequence，則存在一 subsequence $\{p_{n_i}\}$ 在 $X$ 上收斂。

2. (Bolzano-Weierstrass Theorem) 任意 $\mathbb{R}^k$ 中有界 sequences 都必有收斂 subsequence。
=================

那麼現在我們想問，如果是 函數 sequence 是否有類似結果可以使用?
Q1. 任意 收斂函數sequence 是否都有均勻收斂 sequence ?
Q2. 如果我們有一組 "有界" 的 函數 sequence，那麼是否此組有界函數 sequence 仍有 收斂 subsequence? 如果有? 是甚麼樣的收斂(逐點? or 均勻?) 如果沒有? 我們該怎麼修正。

讀者可以發現我們想要 模仿 實數sequence 的 Bolzano-Weierstrass theorem 到 函數 sequence 中，故第一個問題便是甚麼叫做 "有界" 的函數sequence ? 故以下我們給出 有界函數sequence (bounded function sequences)的定義 ：

=======================
Definition: ( Boundedness of Sequence of Function)
令 $\{f_n \}$ 為定義在 $E \subset X$ 上函數 sequence。
我們說 $\{f_n \}$ 為在 $E$ 上逐點有界(pointwise bounded)  若下列條件成立：
存在一個有限值域函數 $\phi(x)>0$ 使得 對任意 $x\in E$ 與 對 $n=1,2,3,...$，\[
|f_n(x)|< \phi(x)
\]
我們說 $\{f_n \}$ 為在 $E$ 上均勻有界(uniformly bounded)  若下列條件成立：
存在一個(夠大的)數字 $M\in \mathbb{R}$ 使得 對任意 $x\in E$ 與 $n=1,2,3,...$，\[
|f_n(x)|<M
\]=======================

現在看個例子

Example 1

令 $x \in [0,1]$ 且 $n \in \mathbb{N}$，定義函數sequence

\[ f_n(x) = \frac{x^2}{x^2 +(1 - nx)^2} \]試問 

1. 此函數sequence 是否均勻有界?

2. 此函數 sequence 是否收斂? 是否均勻收斂?

3. 此函數 sequence 是否具有均勻收斂 subsequence $\{f_{n_k} \}$?

Solution

1. 給定 $x\in [0,1]$ 觀察

\[\left| {{f_n}(x)} \right| = \left| {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{\left( {1 - nx} \right)}^2}}}} \right| \le 1\]故選 $M=1$ $\{f_n\}$ 在 $[0,1] $均勻有界。

2. 現在檢驗收斂性

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 + {n^2}}} = 0
\] 但若我們檢驗 supnorm可發現
\[\left\| {{f_n}(x) - 0} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{x \in [0,1]} \left| {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}}} \right| = 1 \ne 0
\]故此函數不均勻收斂。

3. 令子數列如下
\[{f_{{n_k}}}(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - {n_k}x)}^2}}}
\]現在觀察若 $x = \frac{1}{{{n_k}}}$ 則
\[{f_{{n_k}}}\left( {\frac{1}{{{n_k}}}} \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1
\]故在 $[0,1]$ 上 無均勻收斂的 subsequence；亦即如果我們選 $\varepsilon = 1/2 >0$  則 對所有的 $N>0$，$n_k >N$ 存在一個 $x = \frac{1}{n_k} \in [0,1]$ 使得
\[\left| {{f_{{n_k(x)}}} - f(x)} \right| = \left| 1 - 0 \right| =1 \ge 1/2
\]

現在我們看個比連續以及均勻連續更強的定義，此定義可以幫我們連結均勻收斂 等相關概念
======================
Definition: Equicontinuity
令 $\mathcal{F}$ 為在 $E \subset X$上的 函數 $f$ 的 family，我們說此 family $\mathcal{F}$ 為 等度連續 (equicontinuous) on $E$ 若下列條件成立
對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $x,y \in E, f \in \mathcal{F}$
\[
d(x,y) < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon
\]======================

Comment: 
sequence of functions $f_n$ 可以看成是一個 函數 的 family $\mathcal{F}$，$f_n \in \mathcal{F} \;\; \forall n$。

如前例

Example 2

令 $x \in [0,1]$ 且 $n \in \mathbb{N}$，定義函數sequence

\[{f_n}(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}}
\]試問 $f_n$ 是否為 equicontinuous?

Solution
令 $x,y \in [0,1]$，觀察
\[\left| {{f_n}\left( x \right) - {f_n}\left( y \right)} \right| = \left| {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {{(1 - ny)}^2}}}} \right| \ \ \ \ (*)
\]若我們取 $x = 1/n$ 與 $y = 2/n$ 滿足則當 $n \rightarrow \infty$ 我們有 $d(x,y) \rightarrow 0$；但若將上述 $x,y$兩點代入 $(*)$
\[\left| {{f_n}\left( {\frac{1}{n}} \right) - {f_n}\left( {\frac{2}{n}} \right)} \right| = \left| {1 - \frac{{\frac{4}{{{n^2}}}}}{{\frac{4}{{{n^2}}} + 1}}} \right| = \left| {\frac{{{n^2}}}{{4 + {n^2}}}} \right| \rightarrow 1\]亦即 無論 $n$ 多大 $|f_n(x) - f_n(y)|$之差都不會到 $0$。故並非 equicontinuous。$\square$


Example 3
令 $K \subset \mathbb{R}$ 為 compact ，且對任意 $R \in \mathbb{R}$ 滿足 $R<\infty$ 定義
\[
B_R:=\{f \in C(K): |f(x) - f(y)| < R|x-y|\}
\] 試證 上述集合 $B_R$ 為 equicontinuous。

Proof:
給定 $f \in B_R$，我們要證明 $f$ 為 uniform continuous  亦即 $\varepsilon >0$，存在 $\delta >0$ 使得 $u,v \in K$，$|u-v|<\delta \Rightarrow |f(u) - f(v)| <\varepsilon$。注意到 $f \in B_R$ 故 $|f(u) - f(v)| < R|u-v|$ 現在選 $\delta := \varepsilon /2R$ 則
\[|f(u) - f(v)| < R|u - v| = R\frac{\varepsilon }{{2R}} < \varepsilon
\]

接著我們介紹等度連續的判斷定理：

=======================
令 $\{f_n\}$ 為函數 sequence
Theorem: 
若 $K$ 為 compact metric space 且 $f_n \in \cal{C}(K)$ 且 $\{f_n\}$ 在 $K$上均勻收斂，則
$f_n$ 在 $K$ 上等度連續。
=======================
Proof: omitted.

現在回頭再看看剛剛的例子

Example 

令 $x \in [0,1]$ 且 $n \in \mathbb{N}$，定義函數sequence

\[{f_n}(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}}
\]試問 $f_n$ 是否為 equicontinuous?

我們發現主因是 

\[{f_n}(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(1 - nx)}^2}}}
\]並未在 $K$ 上均勻收斂，故並非等度連續!!



現在我們可以回答在文章開始時的問題：
在甚麼條件下，一組函數 Sequence 可以具有 均勻收斂的 subsequence?

=============================
Theorem: Sufficient Condition for Existence of Uniform Convergent Subsequence
若 $K$ 為 compact set，$\{f_n\}$ 為有界連續函數 sequence ( $ f_n \in \mathcal{C}(K),\;\; \forall n\in \mathbb{N}$) 且 $f_n$ 為 pointwise bounded 與 equicontinuous on $K$ 則
1. $\{f_n\}$ 為 uniformly bounded on $K$
2. $\{f_n\}$ 具有均勻收斂 subsequence
============================
Proof: omitted.


以下我們看個例子說明我們確實需要 $f_n$ pointwise bounded

Example 4
同 Example 3，令 $K \subset \mathbb{R}$ 為 compact ，且對任意 $R \in \mathbb{R}$ 滿足 $R<\infty$ 定義
\[
B_R:=\{f \in C(K): |f(x) - f(y)| < R|x-y|\}
\] 試問 sequence $\{f_n\} \subset B_R$ 是否有 convergent subsequence?

Proof:
注意到儘管 $K$ 為 compact，且 $B_R$ 為 equicontinuous，但是 $\{f_n\}$ 不一定為 pointwise bounded，比如說若選 $f_n(x) := r x + n$  ($0 < r < R$ ) 則 $f_n \in B_R$ 因為
\[|{f_n}(x) - {f_n}(y)| = |rx + n - ry - n| = r|x - y| < R|x - y|\]
但是 讀者可察覺 $f_n(x)$ 並無 pointwise bounded。(事實上 $f_n(x) \to \infty$)