延續前篇，回憶 對於 週期訊號 $x(t)$ 我們可寫下其對應的 Fourier Series Representation 如下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 其中 $\omega_0$ 為週期訊號的基本頻率 (fundamental frequency)。$a_k$ 稱為 Fourier Series 的係數。之前我們已經討論過 給定 Fourier Series 係數，我們可以重建週期 $x(t)$，現在我們專注 在 給定 週期訊號 $x(t)$，如何反求 Fourier Series 的係數。
如前所述，現在給定 平滑(smooth)有界 週期訊號 $x(t)$ 且假設其可以寫下對應的 Fourier Series Representation：
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 對兩邊同乘 $e^{-j n \omega_0 t}, \; n \in \mathbb{Z}$ 可得
\[x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}}
\]接著在對等式兩邊同積分從$0$ 積到 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) $T$ $(T=2\pi/\omega_0)$，亦即
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \int_0^T {\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} } dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}} } dt \ \ \ \ (*)
\end{array}\]注意到上述運算中要求積分與無窮級數順序互換，此運算需要較為嚴謹的數學討論，但在此我們僅僅指出若 訊號為有界平滑函數(無窮階導數存在)，且僅有有限個不連續跳點，則上述積分與無窮級數順序互換之運算成立。另外我們注意到上式中的積分部分可利用 Euler formula： $e^{j \omega t} = \cos \omega t + j \sin \omega t$可得
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} = \int_0^T {\cos \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt} + j\int_0^T {\sin \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt} \]觀察上式，當 $k =n$ 時，我們可計算積分值，但當 $k \neq n$時，對 $\sin, \cos$ 一個週期的積分值為 $0$，也就是說
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} = \left\{ \begin{array}{l}
T,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k = n\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne n
\end{array} \right.
\]故 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} } \\
\Rightarrow \int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = {a_n}T\\
\Rightarrow {a_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt \ \ \ \ (\star)
\end{array}
\]故若訊號 $x(t)$ 具有 Fourier Series Representation (亦即，可以被表示成 諧波相關 complex exponentials 的線性組合)，則 Fourier Series 的係數由上式 $(\star)$給出。
我們可以給一個總結如下：
對於連續時間 週期訊號 $x(t)$ 若 Fourier Series Representation存在：則下列的對偶關係式成立
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt
\end{array} \right.
\]上述的 Fourier Series 係數 $a_k$ 是用來 measure 週期訊號 $x(t)$ 中 每一次諧波分量的成分大小。另外 $a_0$ 表示 直流(DC) 分量，亦即讓 $k=0$，則 $a_k$式 $(\star)$ 變成
\[{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt\]
現在我們看個例子:
Example
令
\[x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)
\]試求 Fourier Series 係數 $a_k$
Solution
注意到 $x(t)$ 的最後一項 $\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)$ 可用 三角函數和差化積得到
\[\begin{array}{l}
\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}
\]故 $x(t)$ 變為
\[ \Rightarrow x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\]利用 Fourier Series 定義，我們首先將其改寫為 complex exponential 的線性組合，利用 Euler formula，我們可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{2j}}\left( {{e^{j{\omega _0}t}} - {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right) + \left( {{e^{j{\omega _0}t}} + {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right) + \frac{1}{{j2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} - {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right)
\end{array}
\]整理上式得到
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \underbrace 1_{{a_0}} + \underbrace {\left( {1 + \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_1}}{e^{j{\omega _0}t}} + \underbrace {\left( {1 - \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_{ - 1}}}{e^{ - j{\omega _0}t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{j}} \right)}_{{a_2}}{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 - \frac{1}{j}} \right)}_{{a_{ - 2}}}{e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 2: Sinc function
考慮週期方波如下圖所示
試求其 Fourier Series coefficients $a_k$：
Solution
首先判斷上式週期訊號 $x(t)$ 的週期為 $T$。
利用 $(\star)$ 我們可先計算 $a_0$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt}\\
{ \Rightarrow {a_0} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x(t)} dt = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} 1 dt = \frac{{2{T_1}}}{T}}
\end{array}\]接著計算 $a_k$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt}\\
{ \Rightarrow {a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt = \frac{1}{{jk{\omega _0}T}}\left( {{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\left( {\frac{{{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}}}{{2j}}} \right) = \frac{{2\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k{\omega _0}T}}}
\end{array}\]注意到 $T := \frac{2 \pi}{\omega_0}$，故我們可進一步改寫上式得到
\[{a_k} = \frac{{\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k\pi }},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne 0\]且 $a_0 = \frac{T_1}{T}$。上式 $a_k$ 稱為 sinc function。
有了上述結果，我們可以做些實驗看看此係數的分布
我們固定 $T = 4 T_1$，則 Fourier Series coefficient 的分布如下圖
若將週期提高為 $T = 16 T_1$，則分布如下
Gibbs Phenomenon of Periodic Square Wave
延續上方例子，現在若限制 $|k| \le N$ ，且將每一個 $a_k$ 透過 complex exponential 做有限$N$項的線性組合，可得到前有限 $N$項的訊號，記做$x_N(t)$，
\[
x_N(t) = \sum_{k=-N}^{N} a_k e^{j k \omega_0 t}
\]我們試圖看看用此訊號 $x_N(t)$ "近似" 原本 $x(t)$ (以無窮項的 Fourier Series Representation) 看看是否確實還原我們的週期方波訊號。現在讓 $N$ 分別為 $1, 3,7,19,79$我們會得到下圖
上圖會發現方波確實被還原，但在不連續端點部分出現過大的 overshoot ，且不論 $N$ 如何增加，只要是有限的 $N$，該處的不連續 overshoot現象都回持續存在 (約 9% overshoot 在不連續點處)，此一現象稱為 Gibbs phenomenon。
ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 其中 $\omega_0$ 為週期訊號的基本頻率 (fundamental frequency)。$a_k$ 稱為 Fourier Series 的係數。之前我們已經討論過 給定 Fourier Series 係數，我們可以重建週期 $x(t)$，現在我們專注 在 給定 週期訊號 $x(t)$，如何反求 Fourier Series 的係數。
如前所述，現在給定 平滑(smooth)有界 週期訊號 $x(t)$ 且假設其可以寫下對應的 Fourier Series Representation：
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 對兩邊同乘 $e^{-j n \omega_0 t}, \; n \in \mathbb{Z}$ 可得
\[x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}}
\]接著在對等式兩邊同積分從$0$ 積到 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) $T$ $(T=2\pi/\omega_0)$，亦即
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \int_0^T {\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} } dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}} } dt \ \ \ \ (*)
\end{array}\]注意到上述運算中要求積分與無窮級數順序互換，此運算需要較為嚴謹的數學討論，但在此我們僅僅指出若 訊號為有界平滑函數(無窮階導數存在)，且僅有有限個不連續跳點，則上述積分與無窮級數順序互換之運算成立。另外我們注意到上式中的積分部分可利用 Euler formula： $e^{j \omega t} = \cos \omega t + j \sin \omega t$可得
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} = \int_0^T {\cos \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt} + j\int_0^T {\sin \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt} \]觀察上式，當 $k =n$ 時，我們可計算積分值，但當 $k \neq n$時，對 $\sin, \cos$ 一個週期的積分值為 $0$，也就是說
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} = \left\{ \begin{array}{l}
T,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k = n\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne n
\end{array} \right.
\]故 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} } \\
\Rightarrow \int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = {a_n}T\\
\Rightarrow {a_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt \ \ \ \ (\star)
\end{array}
\]故若訊號 $x(t)$ 具有 Fourier Series Representation (亦即，可以被表示成 諧波相關 complex exponentials 的線性組合)，則 Fourier Series 的係數由上式 $(\star)$給出。
我們可以給一個總結如下：
對於連續時間 週期訊號 $x(t)$ 若 Fourier Series Representation存在：則下列的對偶關係式成立
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt
\end{array} \right.
\]上述的 Fourier Series 係數 $a_k$ 是用來 measure 週期訊號 $x(t)$ 中 每一次諧波分量的成分大小。另外 $a_0$ 表示 直流(DC) 分量，亦即讓 $k=0$，則 $a_k$式 $(\star)$ 變成
\[{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt\]
現在我們看個例子:
Example
令
\[x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)
\]試求 Fourier Series 係數 $a_k$
Solution
注意到 $x(t)$ 的最後一項 $\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)$ 可用 三角函數和差化積得到
\[\begin{array}{l}
\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}
\]故 $x(t)$ 變為
\[ \Rightarrow x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\]利用 Fourier Series 定義，我們首先將其改寫為 complex exponential 的線性組合，利用 Euler formula，我們可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{2j}}\left( {{e^{j{\omega _0}t}} - {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right) + \left( {{e^{j{\omega _0}t}} + {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right) + \frac{1}{{j2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} - {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right)
\end{array}
\]整理上式得到
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \underbrace 1_{{a_0}} + \underbrace {\left( {1 + \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_1}}{e^{j{\omega _0}t}} + \underbrace {\left( {1 - \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_{ - 1}}}{e^{ - j{\omega _0}t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{j}} \right)}_{{a_2}}{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 - \frac{1}{j}} \right)}_{{a_{ - 2}}}{e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 2: Sinc function
考慮週期方波如下圖所示
試求其 Fourier Series coefficients $a_k$：
Solution
首先判斷上式週期訊號 $x(t)$ 的週期為 $T$。
利用 $(\star)$ 我們可先計算 $a_0$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt}\\
{ \Rightarrow {a_0} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x(t)} dt = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} 1 dt = \frac{{2{T_1}}}{T}}
\end{array}\]接著計算 $a_k$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt}\\
{ \Rightarrow {a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt = \frac{1}{{jk{\omega _0}T}}\left( {{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\left( {\frac{{{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}}}{{2j}}} \right) = \frac{{2\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k{\omega _0}T}}}
\end{array}\]注意到 $T := \frac{2 \pi}{\omega_0}$，故我們可進一步改寫上式得到
\[{a_k} = \frac{{\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k\pi }},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne 0\]且 $a_0 = \frac{T_1}{T}$。上式 $a_k$ 稱為 sinc function。
有了上述結果，我們可以做些實驗看看此係數的分布
我們固定 $T = 4 T_1$，則 Fourier Series coefficient 的分布如下圖
Gibbs Phenomenon of Periodic Square Wave
延續上方例子，現在若限制 $|k| \le N$ ，且將每一個 $a_k$ 透過 complex exponential 做有限$N$項的線性組合，可得到前有限 $N$項的訊號，記做$x_N(t)$，
\[
x_N(t) = \sum_{k=-N}^{N} a_k e^{j k \omega_0 t}
\]我們試圖看看用此訊號 $x_N(t)$ "近似" 原本 $x(t)$ (以無窮項的 Fourier Series Representation) 看看是否確實還原我們的週期方波訊號。現在讓 $N$ 分別為 $1, 3,7,19,79$我們會得到下圖
ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems
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