[系統理論] 連續時間週期訊號的 Fourier Series Representation (1) - Periodic signal represents by linear combination of complex exponentials

在系統理論中，週期訊號是非常重要的一類訊號，我們將在這篇文章介紹 對於週期訊號的頻域處理： Fourier Series Representation。本質上想法就是企圖將 週期訊號 透過 Complex exponentials 展開 (或者等價 用 sin 與 cos 展開)。

Comment:
1. 上述句子提及的展開 表示 週期訊號 可以透過 complex exponential 透過線性組合 建構。
2. 儘管 Fourier Series 對"大部分" 週期訊號 (e.g., 連續週期訊號)都成立。但若欲擴展到 "任意" 週期訊號的 Fourier Series Representation 須加上額外條件保證 Fourier Sereis 收斂，此部分會在後續文章再做討論。
3. 注意到若訊號為 "非週期"訊號，則 Fourier Series 不能使用，需引入 Fourier Transform!! 關於 Fourier Transform 的議題我們會在之後再做討論。 (基本想法仍不變，只是將非週期訊號 "看成" 週期訊號 但週期為無窮大)


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Definition: (Continuous Time Periodic Signal)
我們稱一個訊號 $x(t)$ 為週期訊號 (periodic signal) 若下列條件成立：
對任意時間 $t>0$ 存在一正實數 $T >0$，使得
\[
x(t) = x(t + T)
\]======================
下圖為連續時間的週期訊號的一個例子

我們稱 $T_0$ 為 週期訊號 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) 若下列條件滿足：
取最小週期 $T_0 = T>0$ 使得 $x(t) = x(t+T)$仍然成立。

由基本週期的定義，我們可透過 $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ 定義 基本頻率 (fundamental frequency, $\omega_0$)
\[
\omega_0 := \frac{2 \pi}{T_0}
\] Example
考慮
\[x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)
\]則上述訊號 為週期訊號 (或者週期訊號的線性組合)，且 fundamental frequency 為 $\omega_0$。

下面是一些常見的 週期訊號 ：
-----------
Example
1. $x(t) = \cos \omega_0 t$
2.  $x(t) = e^{j \omega_0 t}$
-----------

Proof:
給定 $t>0$，
1. 先證 $\cos \omega_0 t$ 為週期訊號，亦即要證明 存在一個 $T >0$ 使得
\[
\cos(\omega_0 (t + T)) = \cos( \omega_0 (t))
\]現在令 $T := \frac{2\pi}{ |\omega_0|} >0$，則
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos ({\omega _0}(t + T)) = \cos ({\omega _0}(t + \frac{{2\pi }}{{\left| {{\omega _0}} \right|}}))}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos ({\omega _0}t \pm 2\pi ) = \cos ({\omega _0}t)}
\end{array}\]亦即 $\cos \omega_0 t$ 確實為週期訊號。

2. 我們接著證 $e^{ j \omega_0 t}$ 為週期訊號，亦即要證明 存在一個 $T >0$ 使得
\[
e^{j\omega_0 (t + T)} = e^{j\omega_0 t}
\]同樣取 $T := \frac{2\pi}{ |\omega_0|} >0$，則
\[\begin{array}{l}
{e^{j{\omega _0}(t + T)}} = {e^{j{\omega _0}\left( {t + \frac{{2\pi }}{{\left| {{\omega _0}} \right|}}} \right)}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{j({\omega _0}t \pm 2\pi )}} = \cos ({\omega _0}t \pm 2\pi ) + jsin\left( {{\omega _0}t \pm 2\pi } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos ({\omega _0}t) + jsin\left( {{\omega _0}t} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{j({\omega _0}t)}}
\end{array}\]亦即 $e^{j\omega_0 t} $ 確實為週期訊號。$\square$。


現在我們考慮訊號為 Complex exponentials，亦即
\[
x(t) = e^{j \omega_0 t}
\]其對應的 fundamental frequency 為 $\omega_0$ 。

現在我們定義一組與諧波相關(harmonically related)的 complex exponentials  如下
\[
\phi_k(t) := e^{j k \omega_0 t}
\]上述 $\phi_k(t)$ 仍為週期訊號且 fundamental frequency 仍為 $\omega_0$，現在若我們把週期訊號 透過 線性組合疊加 寫成下列無窮級數形式：
\[
x\left( t \right): = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{\phi _k}\left( t \right)}  = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \ \  \ \ (*)
\]則我們說上述訊號 $x(t)$ 仍為 一個週期為 $T$ 的訊號。

NOTE: 上述的無窮級數形式稱為週期訊號 $x(t)$ 的 Fourier Series Representation。亦即，給定係數 $a_k$，我們便可以透過 complex exponentials 的線性組合 來建構週期訊號 $x(t)$。

Comments:
對於
\[
x\left( t \right): = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \ \  \ \ (*)
\]
注意到 $k=0$時，上式 $(*)$為常數。
\[x\left( t \right): = {\left. {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|_{k = 0}} = {a_0}
\]若 $k= \pm 1$時，此時 $(*)$ 可寫為
\[x\left( t \right): = {\left. {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|_{k =  \pm 1}} = {a_1}{e^{j{\omega _0}t}} + {a_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}}
\]上式仍為 週期函數且 fundamental freqeuncy 為 $\omega_0$，我們稱為 1次諧波分量 (first harmonic compoenents)
同理，若 $k = \pm2$時，我們亦可得到週期函數，且 fundamental frequency 為 $2 \omega_0$，稱為 2次諧波分量 (second harmonic componenents)，以此類推，若 $k= \pm N$時，我們透過 $(*)$仍得到的週期函數，且 fundamental frequency 為 $N \omega_0$ 稱為 N次諧波分量。

我們現在看個例子：
考慮週期訊號 $x(t)$ 具有 fundamental frequency $2 \pi$ 表為
\[x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - 3}^3 {{a_k}{e^{jk2\pi t}}}
\]其中 $a_0 =1, \; a_1 = a_{-1} = 1/4$, $a_2 = a_{-2}=1/2$, $a_3 = a_{-3} = 1/3$。試求原本 $x(t) = ?$
Solution:
將給定係數 $a_k, k= -3,-2,-1,0,1,2,3$帶入上式，我們可得
\[{\small
\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - 3}^3 {{a_k}{e^{jk2\pi t}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = {a_0} + {a_1}{e^{j2\pi t}} + {a_{ - 1}}{e^{ - j2\pi t}} + {a_2}{e^{j4\pi t}} + {a_{ - 2}}{e^{ - j4\pi t}} + {a_3}{e^{j6\pi t}} + {a_{ - 3}}{e^{ - j6\pi t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{4}\left( {{e^{j2\pi t}} + {e^{ - j2\pi t}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{e^{j4\pi t}} + {e^{ - j4\pi t}}} \right) + \frac{1}{3}\left( {{e^{j6\pi t}} + {e^{ - j6\pi t}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{{{e^{j2\pi t}} + {e^{ - j2\pi t}}}}{2}} \right) + \frac{1}{1}\left( {\frac{{{e^{j4\pi t}} + {e^{ - j4\pi t}}}}{2}} \right) + \frac{2}{3}\left( {\frac{{{e^{j6\pi t}} + {e^{ - j6\pi t}}}}{2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2\pi t} \right) + \frac{1}{1}\left( {\cos 4\pi t} \right) + \frac{2}{3}\left( {\cos 6\pi t} \right) \square
\end{array}
}\]

現在如果反過來，如果給定週期訊號 $x(t)$，如何反求 Fourier Series Represetnation 的係數 $a_k$ ? 我們將留待下一篇文章在做介紹。

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems