[線性系統] 離散時間 LTI 系統的漸進穩定度

考慮離散時間系統
$$x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$$ 若 $A$ 為 穩定矩陣，且 $u(k) \to 0$ 則 $x(k) \to 0$

Proof:
我們要證明  $x(k) \to 0$，故給定任意 $\varepsilon>0$，要證明 存在 $M>0$ 使得 對任意 $k \ge M$，我們有
$$|x(k)| \le \varepsilon$$
注意到該系統 $x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$ 的解為
$${x(k) = {A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} }$$ 兩邊同取 norm 並利用三角不等式 可得
$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left| {x(k)} \right| = \left| {{A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} } \right|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} \le \left| {{A^k}} \right|\left| {x(0)} \right| + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left| {{A^{k - 1 - j}}} \right|\left| B \right|} \left| {u(j)} \right|} \end{array}\ \ \ \ \ (*)$$ 回憶 Horn 與 Johnson (1985) 的結果：
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FACT:
$$|A^k| \le c \lambda^k, \; c>0 \;\; \max_i |eig_i(A)| < \lambda <1$$ ==================
故
$$\left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + c\left| B \right|\sum\limits_{j = 0}^{\infty} {{\lambda ^{k - 1 - j}}\left| {u(j)} \right|}$$ 現在利用已知假設 $u(k) \to 0$ 我們可推知必存在 $N > 0$ 使得 對任意 $k \ge N$，我們有
$$\left| {u(k)} \right| \le \frac{{\varepsilon \left( {1 - \lambda } \right)}}{{2c{\lambda ^k}\left| B \right|}}$$ 將上述結果代入 $(*)$ 可得
$$\begin{array}{l} \left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + c\left| B \right|\sum\limits_{j = 0}^\infty  {{\lambda ^{k - 1 - j}}\frac{{\varepsilon \left( {1 - \lambda } \right)}}{{2c{\lambda ^k}\left| B \right|}}} \\  \Rightarrow \left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + \frac{\varepsilon }{2} \end{array}$$ 由於 $\lambda <1$ 我們可選 $M'>0$ 使得 對任意 $k \ge \max (M', N)$
$$c\lambda^k |x(N)| \le \varepsilon/2, \;\; \forall k \ge m'$$ 現在結合前述結果我們可推得 對任意 $k \ge M = \max(M', N)$，
$$\left| {x(k)} \right| \le \varepsilon$$ 即為所求。 $\square$