[分享] 關於數學證明的一點點思路 (III)

關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backward method。

這次想跟大家分享一個一般數學證明常用的方法，稱作Forward-backward method。
此法本質上就是 [分享] 關於數學證明的一點點思路 (I)-基本思路 的詳細說明版本。

現在讓我們考慮一個標準命題：

If A then B

如之前我們討論過的， 陳述 A 稱為 假設(hypothesis)， 陳述 B 稱為 結論(conclusion)或稱待證目標，

如果我們想要證明 if A then B，則我們可以假設A為真，然後需要證明B為真。
這時有兩種途徑可以著手進行，

首先是先觀察 待證目標B，看看是否有方法可以得到 結論B 或者 得到接近B的陳述，或者有與待證目標B相關的已知結果(如定理、引理)可以使用，這種方法稱為 Backward process (從觀察結論下手)

再者，回頭觀察 已知假設A，看看是否可以透過藏在A中的蛛絲馬跡讓我們來一步一步逼近結論B，這種方法稱為Foward process (從假設出發)

最後是試圖把上述兩者連結起來，就構成整個Forward-Backward process，這很像是在走迷宮
Professor Daniel Solow給了一張非常生動的圖闡述這個想法

看是要從迷宮的中心往外走還是要從迷宮的入口往內走，只要能把整個路徑連起來，證明就完成了。以下是一個非常簡單的例子，來說明如何使用Forward-Backward process


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EXAMPLE
If the right triangle $XYZ$ with sides of lengths $x$ and $y$, and hypotenuse of length $z$, has an area of $z^2/4$, then the triangle $XYZ$ is isosceles.
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(譯:若直角三角形 $XYZ$ 兩股長為 $x$ 與 $y$，且斜邊長為 $z$，其面積為 $z^2/4$，則 三角形 $XYZ$ 為等腰三角形)

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觀察上述陳述，我們可以馬上判斷
已知假設 "A" 為:
 the right triangle $XYZ$ with sides of lengths $x$ and $y$, and hypotenuse of length $z$, has an area of $z^2/4$,

待證目標 "B" 為:
the triangle $XYZ$ is isosceles.
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BACKWARD PROCESS
現在讓我們首先觀察結論B，看看是否有方法可以得到結論B或者得到接近B的陳述，比如上例而言，我們應先觀察 "the triangle $XYZ$ is isosceles"，

接著我們可能會問自己該如何才能證明一個三角形是等腰呢? 這時很明顯的我們要先知道"什麼是等腰三角形(isosceles)"，如果你不清楚定義，那麼到這邊遊戲就結束，因為我們很難再不清楚定義的情況試圖證明某個命題的真假。所以現在需要用上 等腰三角形 的定義!

Def: 一個三角形，若具備 (至少)任兩邊等長 之性質，則此三角形稱為等腰三角形

由上述定義的提示，我們很清楚地發現只要能夠找到兩邊等長就可以證明$XYZ$是等腰三角形了!!，故馬上轉變目標變成證明 $x=y$，
因為如果能夠證明 $x=y$，則由定義可知， $XYZ$ 即為等腰三角形。(Note: 不是證明 $x=z \quad or \quad y=z$，因為此題已經給出$XYZ$為直角三角形，且斜邊為$z$)

故我們說透過Backward process，得到新的待證目標B1: (亦即若B1為真 => B為真)

B1: $x=y$

所以現在問題變成，如何證明$x=y?$，注意到此時我們若想再進一步用 $x=y$ 作進一步推論，便會發覺似乎不太容易

註：

• 也許你可能回憶起 等腰三角形 還具備一個性質：兩股對應的角度相等，故你可能會試圖將待證目標 B1 改寫成 待證目標B2: 證明x與y對應的角度相等，但一般而言，我們不太容易思考到這個步驟，且注意到 已知假設A 中只有提及 邊長 與 面積 的訊息，故若採用角度作推論，很容易陷入困難之中。
• 也許你可能會想到 $x=y \implies x\leq{y} \quad \& \quad x\geq{y}$，但是這依然難以繼續。

很明顯的，現在我們對於backward-process似乎已經束手無策，故我們便可暫時停止Backward-process，然後回頭開始採用 已知假設A 所提供的資訊 來幫助我們，亦即開始採用Foward-process進攻目標

B1: $x=y$

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FORWARD PROCESS
回顧我們的 已知假設A: "the right triangle $XYZ$ with sides of lengths $x$ and $y$, and hypotenuse of length $z$, has an area of $z^2/4$ "

現在仔細看看上A提供的線索，我們可以發現 $XYZ$ 的面積給定為 $z^2/4$，且又給出兩股 $x$ and $y$ 與斜邊 $z$，從這裡我們可以推論

A1: $z^2/4=xy/2$

另外由已知假設可知 $XYZ$ 為直角三角形，故我們可馬上由畢氏定理得到另外一個線索

A2: $(x^2+y^2)=z^2$

故我們可以把A1與A2合併
(用$(x^2+y^2)$換掉A1中的$z^2$)，得到

 A3: $(x^2+y^2)/4=xy/2$

注意到我們的目標是要把已知假設A與剛剛用Backward process找出的新待證目標B1作連結。
只要連結起來證明便完畢

故現在對A3同乘 $4$，可得

A4: $(x^2+y^2)=2xy \implies (x^2-2xy+y^2)=0$

進一步再整理一下A4

A5: $(x-y)^2=0$

仔細再看一下剛剛得到的A，這時候我們發現

$(x-y)^2=0 \implies (x-y)=0 \implies x=y$

此時A5結結實實的連上了待證目標B1: $x=y$，故我們的證明至此完畢。
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文章至此可能會發現這個簡單的例子怎麼需要搞這麼複雜，其實上面的討論是單純的證明思路，但真正把證明寫下來的時候，是不需要這樣的，以下是一個寫下來的證明

Proof:
由題目(EXAMPLE)可知，我們需要證明三角形 ${\color{red}XYZ}$ is isosceles，亦即須證明其兩股相等,
i.e.,${\color{red} x=y}$
由假設可知三角形 ${\color{red}XYZ}$ 面積為 ${\color{red}z^2/4}$ 故可推知 ${\color{red}z^2/4=xy/2}$ (因為三角形面積：1/2*底*高=1/2*x*y)
另外由已知假設又可知 ${\color{red}XYZ}$ 為直角三角形，故由畢氏定理可知

${\color{red} {(x^2+y^2)=z^2}}$

整理上式可得

${\color{red} {(x^2+y^2)/4=xy/2 \implies(x^2-2xy+y^2)=0}}$

${\color{red} {(x-y)^2=0 \implies(x-y)=0 \implies x=y}}$

Q.E.D
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Ref: Daniel Solow, How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes 2e, 2001

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