[基礎數學] 函數的像 與 像原 (Image and Preimage)

這是要介紹的概念是關於函數的 image 與 preimage (又稱 inverse image)

現在給定一個函數 $f: X \rightarrow Y$，則我們說 $f(x)$ 為 $f$ 的值。$X$ 為 domain (有時候我們稱 $f$ 定義在 $X$ 上)，$Y$ 為 co-domain。下圖可以很清楚的說明這個概念

ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)

在介紹 preimage之前，我們先說說什麼是 image (像)

讓 $E \subset X$，則我們稱 image of $E$ under $f$ 為 $f(E)$ 定義如下

\[f(E): = \{ f(x):x \in E\}
\]現在我們看幾個 image 的例子

Example 1
令 $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d \}$ 且定義
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
a,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 1\\
a,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 2\\
c,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x = 3
\end{array} \right.\]試求 image $f(\{2,3 \})=?$
Solution
由定義 

\[\begin{array}{l}
f(E): = \{ f(x):x \in E\} \\
 \Rightarrow f(\left\{ {2,3} \right\}) = \{ f(x):x \in \left\{ {2,3} \right\}\}  = \left\{ {a,c} \right\} \ \ \ \ \square
\end{array}
\]

Example 2
令 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 且定義 $f\left( x \right): =x ^2 $ 試求 image $f(\{-2,3 \})=?$
Solution
由定義 

\[\begin{array}{l}
f(E): = \{ f(x):x \in E\} \\
 \Rightarrow f(\left\{ { - 2,3} \right\}) = \{ f(x):x \in \left\{ { - 2,3} \right\}\}  = \left\{ {4,9} \right\}
\end{array}\]


有了 image之後我們便可以來定義甚麼是 preimage，定義如下:

===========================
Definition: (Preimage or Inverse Image)
考慮函數 $f: X \rightarrow Y$，且令集合 $B \subset Y$，則我們定義  preimage of B under $f$ 為 $f^{-1} (B)$ 滿足
\[
f^{-1}(B) := \{ x \in X : f(x) \in B \}
\]===========================

這定義有甚麼用呢? 我們用幾個例子來說明:

Example 1:
令 $f: X \to Y$，若取集合 $B = Y$ 則由定義可知
\[
f^{-1}(B) = f^{-1}(Y) = \{x \in X: f(x) \in T \} = X
\]

Example 2 :
現給定 $f: (-\infty, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty) $ 且 $f(x) = x^2$，試找出 $f^{-1}([4,9])=?$

Sol:
首先我們可以比對 此例 與 定義，便可發現

$ f^{-1}([4,9]) = \{x \in (-\infty, \infty) : f(x) \in [4,9]\}$

$ = \{x \in (-\infty, \infty) :4 \leq  f(x) \leq 9 \}$

$ = \{x \in (-\infty, \infty) : 4 \leq  x^2 \leq 9 \}$

$ = \{x \in (-\infty, \infty) : 2 \leq  x \leq 3 \ or  -3 \leq  x \leq -2 \}$

$ = [-3,-2] \bigcup [2,3]$ $\square$

由上例可以看出， $f^{-1}([4,9]) = [-3,-2] \bigcup[2,3]$ ;這表示了 所謂的 preimage 是原本定義域(domain) 的子集合。也就是在問說 在  $x \in (-\infty, \infty)$ 之下， 甚麼樣的 $x$ 可以使 $f(x)$ 的值域落在 $[4,9]$之中。

好，那麼如果現在我們把前例中的 函數的定義域 domain 改成如下：

$f : [0, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty)$ 則 此時 preimage變成

$f^{-1}([4,9]) = [2,3]$

，因為此函數的定義域已經被更改成 $[0, \infty)$ (也就是說 $x$ 已經被限制不能為負值) 所以 由preimage定義可知

$f^{-1}([4,9]) =  \{x \in [0, \infty) : f(x) \in [4,9]\}$ 也就是再問說 在  $x \in [0, \infty)$ 之下， 甚麼樣的 $x$ 可以使 $f(x)$ 的值域落在 $[4,9]$之中。

這便是preimage。


以下我們介紹幾個 Preimage 的性質：
令 $\Omega, \Omega'$為任意集合，現考慮函數 $f: \Omega \rightarrow \Omega'$ 則我們有以下 preimage 性質

(1) $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
(2) $f^{-1}(\Omega') = \Omega$
(3) 對 $A' \subset \Omega'$，$f^{-1}(A'^C) = (f^{-1}(A'))^C$
(4) Preimage 對 set operation 成立
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {\bigcup\limits_i^{} {{A_i}'} } \right) = \bigcup\limits_i^{} {{f^{ - 1}}\left( {{A_i}'} \right)} \\
{f^{ - 1}}\left( {\bigcap\limits_i^{} {{A_i}'} } \right) = \bigcap\limits_i^{} {{f^{ - 1}}\left( {{A_i}'} \right)}
\end{array}\]