[數學分析] 函數的極限

這次要介紹函數極限( Limit of Function)。我們首先給出定義如下

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Definition: Limit of Function
令 $X$ 與 $Y$ 為 metric spaces，設 $E \subset X$ 且 考慮函數 $f : E \rightarrow Y$ 與點 $p$ 為 limit point of $E$，則我們將函數的極限 記作 $f(x) \rightarrow p$ 當 $x \rightarrow p$ 或者
\[
\lim_{x \rightarrow p} f(x) =q
\]若 存在一點 $q \in Y$ 滿足下列條件：
對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對所有的 $x \in E$，若 $ 0 < d_X(x,p) < \delta$，則
\[
d_Y(f(x),q) < \varepsilon
\]===========================

上述 $d_X$ 與 $d_Y$ 表示 metric in $X$ 與 metric in $Y$

Comment:
1. 上述定義從直覺上可以看出想表達我們可以透過讓 $x$ 足夠的接近 $p$ 來使得 $f(x)$ 可以被任意接近 $q$。
2. 關於上述定義提及的 Metric Space 可直接簡單視為 $\mathbb{R}^n$ Euclidean 空間，若對 Metric Space 定義有興趣讀者請參考
[數學分析] 淺談 Metric Space and Topology
3. 上述定義可等價用 limits of sequences 表示，我們將其記做下面重要的定理

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Theorem:  Equivalence of Limit of Functions and Limit of Sequences 
令 $X,Y,E,f,p$ 同上述定義，則
\[
\lim_{x \rightarrow p} f(x) =q
\]若且唯若 對任意 sequence $\{p_n \}$ in $E$ 滿足 $p_n \neq q$ 且使得
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} p_n =p
\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) =q
\]===========================
Proof
先證 $(\Rightarrow)$
已知 $\lim_{x \rightarrow p} f(x) =q$，我們有：對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得對所有的 $x \in E$ ，若 $ 0 < d_X(x,p) < \delta$ 則
\[
d_Y(f(x),q) < \varepsilon \ \ \  \ (*)
\]
我們要證明
對任意 sequence $\{p_n \}$ in $E$ 滿足 $p_n \neq q$ 且
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} p_n =p \Rightarrow
\lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) =q
\] 故首先令 sequence $\{p_n \}$ in $E$ 滿足 $p_n \neq q$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty} p_n =p$.   $(**)$
則我們僅需證明下式成立即可
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) =q
\] 由定義拆解上式，亦即我們需要證 對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $N >0$ 使得 $n \ge N$ 讓 $d_Y(f(p_n),q) < \varepsilon $

故取 $\delta$ 如前所定，則由 sequence $\{p_n\}$ 的假設 $(**)$ 我們可知存在 $N$ 使得 $n \ge N$ 讓
\[
0 < d(p_n,p) < \delta
\]由 $(*)$ 我們可得 對 $n \ge N$，
\[
d(f(p_n),q) < \varepsilon
\]亦即
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) =q
\]

接著我們證明 $(\Leftarrow)$
利用歸謬法 (Suppose toward to Contradiction)，也就是說我們 假設
(1) 對任意 sequence $\{p_n \}$ in $E$ 滿足 $p_n \neq q$ 且使得
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} p_n =p
\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} f(p_n) =q
\] 另外 假設 (2) $\lim_{x \rightarrow p} f(x) =q$ 不成立，亦即對原本陳述取非
存在一 $\varepsilon >0$ 使得 對任意 $\delta >0$，存在 $x \in E$，使得 $ 0 < d_X(x,p) < \delta$，但是
\[
d_Y(f(x),q) \ge \varepsilon
\] 現在我們的目標是結合假設 (1) 與 (2) 試圖尋找矛盾點。

現在觀察 (2)，給定 $\varepsilon_n >0$， 且定義 $\delta :=1/n >0 \; \text{for}\; n \in \mathbb{N}$ 則存在一組 sequence $\{ x_n\} \in E$ 使得  $ 0 < d_X(x_n,p) < \delta$，但是
\[
d_Y(f(x_n),q) \ge \varepsilon
\] 上述結果與假設 (1) 矛盾。故得證。 $\square$

Reference:
[1] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis
[2] T. M. Apostol, Mathematical Analysis