[變分法] 淺論 線性泛函

這次要介紹一些基本的 Functional

我們首先定義 Continuous Functional

給定一個 normed linear space $X$
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Definition:  Continuous Functional

考慮 一個 functional $J: X \rightarrow \mathbb{R}$, 令 $y \in X$，我們說 $J[y]$ 被稱作 在點 $\hat y \in X$ continuous 若下列條件成立

對任意 $\varepsilon >0$, 存在 $\delta >0$ 使得

$$||y- \hat y|| < \delta  \Rightarrow |J[y] - J[\hat y]| < \varepsilon$$ ============================

Comment
上述連續性等價為
$$||y(x) - \hat y(x)|| \rightarrow 0 \Rightarrow |f(y(x)) - f(\hat{y}(x))| \rightarrow 0$$

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Definition:  Linear Functional
給定一個 normed linear space $X$，且 $y \in X$ 的元素，現在定義 $J[y] : X \rightarrow \mathbb{R}$ 為在 $X$ 上的 functional ，則我們說 $J[y]$ 為 linear functional 若下列條件成立
1. 對任意 $y\in X$ 與 $\alpha \in \mathbb{R}$，$J[\alpha y] = \alpha J[y]$
2. 對任意 $y_1, y_2 \in X$，$J[y_1 + y_2] = J[y_1] + J[y_2]$
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Comment:
上述定義的兩個條件可簡化為
對任意  $y_1, y_2 \in X$ 與 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$
$$J[\alpha y_1 + \beta y_2] =\alpha  J[y_1] + \beta J[y_2]$$

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Definition: Continuous Linear Functional
我們稱 $J[y]$ 為 continuous linear functional 若 $J[y]$ 為 linear functional，且 對任意 $h \in X$， $J[y]$ 為 連續。
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現在我們看一些例子：
Example 1
令 $X := \cal{C}^1[0,1]$，$y:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$，且考慮 $||x||:=||x||_{\infty}$現考慮
$$f(y) := \frac{d}{dx} y(0)$$ 則 此 $f(y)$ 為 Linear Functional 但不為連續。

Proof:
線性：
$$\begin{array}{l} f(\alpha {y_1} + \beta {y_2}) = \frac{d}{{dx}}\left[ {\alpha {y_1}\left( 0 \right) + \beta {y_2}\left( 0 \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \alpha \frac{d}{{dx}}{y_1}\left( 0 \right) + \beta \frac{d}{{dx}}{y_2}\left( 0 \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \alpha f({y_1}) + \beta f({y_2}) \end{array}$$

接著考慮連續性
我們只要舉出一個反例即可說明其不連續
令 $\hat y =0$ 且 $y: = A  \cdot \sin \frac{x}{A}$, $(A \in \mathbb{R})$，則由 $f$ 定義
$$\begin{array}{l} f(y) = \frac{d}{{dx}}y(0)\\  \Rightarrow f(y) = \frac{d}{{dx}}{\left. {\left( {A \cdot \sin \frac{x}{A}} \right)} \right|_{x = 0}} = {\left. {\cos \frac{x}{A}} \right|_{x = 0}} = 1 \end{array}$$ 現在觀察連續性，我們需要
$$||y(x) - \hat y(x)|| \rightarrow 0 \Rightarrow |f(y(x)) - f(\hat{y}(x))| \rightarrow 0$$
故現在計算
$${\left\| y \right\|_\infty } = \left| A \right|{\left\| {\sin \frac{x}{A}} \right\|_\infty } = \left| A \right|$$ 現若讓 $A \rightarrow 0$ 則 $||y|| \rightarrow 0$
但是此時對應的
  $$|f(y(x)) - f(\hat y(x))| = |f(y(x)) - f(0)| = |f(y(x))| = 1 \neq 0$$ 故此說明了 functional $f$ 在 $0$ 處不連續。 $\square$


Example 2
令 $X := \cal{C}[a,b]$，$y : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，現考慮下列積分
$$J[y] := \int_a^b y(x)dx$$ Claim: 上述積分為 Linear Functional on $\cal{C}[a,b]$
Proof
1. 上式積分 為 Functional 因為 $J: \cal{C}[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，
2. 檢驗線性：
觀察
$$\begin{array}{l} J[\alpha {y_1} + \beta {y_2}] = \int_a^b {\left( {\alpha {y_1}\left( x \right) + \beta {y_2}\left( x \right)} \right)} dx\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \alpha \int_a^b {{y_1}\left( x \right)} dx + \beta \int_a^b {{y_2}\left( x \right)} dx\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \alpha J[{y_1}] + \beta J[{y_2}] \end{array}$$ 故 上式積分確實為 Linear Functional。 $\square$

Example 2
令 $X := \cal{C}^n[a,b]$考慮下列積分
$$J[y]: = \int_a^b {\left[ {{\alpha _0}\left( x \right)y(x) + {\alpha _1}\left( x \right)y'(x) + ... + {\alpha _n}\left( x \right){y^{\left( n \right)}}(x)} \right]} dx$$ 上式亦為 Linear functional 其中 $\alpha_i(x)$ 為 $\cal{C}[a,b]$ 上固定函數。

注意到 對任意 $y(x)$ 在特定 function space，現若讓上述積分 $=0$，則我們想問 對於 $\alpha_i(x)$ 會發生甚麼事情？

下面的 Lemma 可以回答此問題：
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Lemma: 
若 $\alpha(x) \in \cal{C}[a,b]$ 且 對任意 $y(x) \in \cal{C}[a,b]$ 滿足 $y(a) = y(b) =0$ ，
$$J[y]: = \int_a^b {\alpha \left( x \right)y(x)} dx = 0$$ 則對任意 $x \in [a,b]$
$$\alpha(x) \equiv 0$$ =======================

Proof
利用歸謬法(Suppose toward to contradiction)，假設 存在 $x \in [a,b]$ 使得 $\alpha(x) \neq 0$。在不失一般性的情況下我們可設 $\alpha(x) >0$

現由於 $\alpha(x) \in \cal{C}[a,b]$ ，由連續性可知必存在一區間 $[x_1,x_2] \subset [a,b]$ 使得 對 $x \in [x_1,x_2]$
$$\alpha(x) >0$$
現在我們讓
$$y(x): = \left\{ \begin{array}{l} (x - {x_1})({x_2} - x)\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array},x \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right]\\ 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array},o.w. \end{array} \right.$$ 則此 $y(x)$亦滿足我們假設條件 $y(x) \in \cal{C}[a,b]$ 滿足 $y(a) = y(b) =0$，但
$$J[y]: = \int_a^b {\alpha \left( x \right)y(x)} dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\alpha \left( x \right)(x - {x_1})({x_2} - x)} dx > 0$$ 與假設 $J[y] =0$ 矛盾。 $\square$