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6/21/2013

[整理] 數學上的等價關係

等價關係 (Equivalence relation)
首先我們先介紹 什麼是數學上的 "關係 (Relation)" 再接著介紹 什麼是 "等價關係 (Equivalence Relation)",講白了就是乘積空間的子集沒有什麼特別,只是初次看可能會覺得難以了解。

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Definition: 集合的(二元)關係 (Relation on a Set)
X 為任意集合,我們說集合  RX 上的 (二元) 關係 若下列條件滿足:
集合 R 中的元素由從 X 而來的 有序配對元素 (ordered pairs of elements),  (x,y) 所組成,其中 xXyX
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Comment: 
1.  換句話說,關係 R 其實是一個 Cartesian product 的子集合; i.e., RX×X,若 關係 R 已事先知曉,我們通常用 " xy" 來表示 (x,y)R
2. 一般而言,上述討論所使用的符號 R 代表 Relation,通常用 " " 改寫之。


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Definition: 等價關係(Equivalent Relation)
一個 在集合 X 上的 等價關係(Equivalent Relation) 為一個 在集合 X上的 關係 " " 滿足下列三個性質:
  1. xX, 則 xx. (Reflexivity)
  2. x,yXxy, 則 yx. (Symmetry)
  3. x,y,zXxyyz, 則 xz. (Transitivity)
換句話說,等價關係要求  1. (x,x)R 對任意 xX,2. (x,y)R(y,x)R,3. 若 (x,y)R(y,z)R(x,z)R
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等價關係建立的目的其實只是要讓我們建立一個"等式的概念",來避免在許多情況下,我們難以描述某兩個量具備相等的概念,此概念有諸多用途,比如 實數建構中應用 (實數為一個等價關係類的柯西數列: The real number is an "equivalent" class of Cauchy sequences.),或者在測度論中建構不可測集。以下我們看幾個例子。


Example 1
令集合 X=R (實數) ,現在定義一個特殊的關係稱作 "平方關係" 滿足
R={(x,y)R2:x2=y2}試證明 R 為一個等價關係(Equivalence relation)。


Proof:
首先證明 Reflexivity:對所有 xR,觀察 x2=x2. 所以 (x,x)R, i.e.,xx

接著證明 Symmetry:若 x,yR(x,y)R則我們有 x2=y2,此結果表明 y2=x2,故我們得到 (y,x)R , i.e., yx

最後證明若 Transitivity: x,y,zR(x,y)R(y,z)R,亦即 x2=y2y2=z2, 則 x2=y2=z2.所以(x,z)R , i.e., xz


Example 2
X:=Z 為整數集,現在定義 "除以五之後有相同餘數" 的關係滿足
R:={(m,n)Z2:mod(m,5)=mod(n,5)}試證明上述關係 R 為等價關係
Proof: 首先證明 Reflexivity:對所有 mZ,則因為 mod(m,5)=mod(m,5) 故滿足 (m,m)R

接著證明 Symmetry:若 m,nZ(m,n)R 則我們有 mod(m,5)=mod(n,5) ,由此可知 mod(n,5)=mod(m,5)。所以 (n,m)R , i.e., yx

最後證明若 Transitivity: m,n,kZ(m,n)R(n,m)R 則由 R 定義可知我們有 mod(m,5)=mod(n,5)mod(n,5)=mod(k,5), 則 mod(m,5)=mod(k,5),所以(m,k)R , i.e., mk


Example 3 (非等價關係的例子)
取任意兩實數 r,s 則我們定義關係 R:={(r,s)R2:r<s}
則我們宣稱上述關係並非等價關係:

Proof: 檢查 reflexivity, 取 rR 則可馬上得知 r<r 為錯誤宣稱,亦即 (r,r)R ,故不滿足 reflexivity

讀者可自行檢查上述關係亦不滿足  symmetry 但滿足 transitivity

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