[整理] 數學上的等價關係

等價關係 (Equivalence relation)

首先我們先介紹 什麼是數學上的 "關係 (Relation)" 再接著介紹 什麼是 "等價關係 (Equivalence Relation)"，講白了就是乘積空間的子集沒有什麼特別，只是初次看可能會覺得難以了解。

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Definition: 集合的(二元)關係 (Relation on a Set)
令 $X$ 為任意集合，我們說集合  $R$ 為 $X$ 上的 (二元) 關係 若下列條件滿足：
集合 $R$ 中的元素由從 $X$ 而來的 有序配對元素 (ordered pairs of elements)，  $(x,y)$ 所組成，其中 $x\in X$ 與 $y \in X$。
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Comment: 
1.  換句話說，關係 $R$ 其實是一個 Cartesian product 的子集合; i.e., $ R \subset{X \times X}$，若 關係 $R$ 已事先知曉，我們通常用 " $x \backsim y$" 來表示 $ (x,y)\in R$。
2. 一般而言，上述討論所使用的符號 $R$ 代表 Relation，通常用 " $ \backsim $ " 改寫之。

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Definition: 等價關係(Equivalent Relation)
一個 在集合 $X$ 上的 等價關係(Equivalent Relation) 為一個 在集合 $X$上的 關係 " $ \backsim $ " 滿足下列三個性質：

1. 若 $x \in{X}$, 則 $x\backsim x$. (Reflexivity)
2. 若 $x,y \in{X}$ 且 $x\backsim y$, 則 $y \backsim x$. (Symmetry)
3. 若 $x,y,z \in{X}$ 且 $x\backsim y$ 與 $y\backsim z$, 則 $x\backsim z$. (Transitivity)

換句話說，等價關係要求  1. $(x,x) \in R$ 對任意 $x \in X$，2. $(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R$，3. 若 $(x,y) \in R$ 與 $(y,z) \in R$ 則 $(x,z) \in R$。
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等價關係建立的目的其實只是要讓我們建立一個"等式的概念"，來避免在許多情況下，我們難以描述某兩個量具備相等的概念，此概念有諸多用途，比如 實數建構中應用 (實數為一個等價關係類的柯西數列: The real number is an "equivalent" class of Cauchy sequences.)，或者在測度論中建構不可測集。以下我們看幾個例子。


Example 1
令集合 $X=\mathbb{R} $ (實數) ，現在定義一個特殊的關係稱作 "平方關係" 滿足
\[
R=\left \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \; x^2=y^2 \right\}
\]試證明 $R$ 為一個等價關係(Equivalence relation)。


Proof:
首先證明 Reflexivity：對所有 $x \in \mathbb{R}$，觀察 $x^2=x^2$. 所以 $(x,x)\in R$, i.e.,$x\backsim x$

接著證明 Symmetry：若 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $(x,y) \in R$則我們有 $x^2=y^2$，此結果表明 $y^2=x^2$，故我們得到 $(y,x)\in R$ , i.e., $y \backsim x$

最後證明若 Transitivity： $x,y,z \in \mathbb{R}$ 且 $(x,y) \in R$ 與 $(y,z) \in R$，亦即 $x^2=y^2$ 與 $y^2=z^2$, 則 $x^2=y^2=z^2$.所以$(x,z)\in R$ , i.e., $x \backsim z$ $\square$

Example 2

令 $X : = \mathbb{Z}$ 為整數集，現在定義 "除以五之後有相同餘數" 的關係滿足

\[ R:= \{(m,n) \in \mathbb{Z}^2: mod(m,5) = mod(n,5)\} \]試證明上述關係 $R$ 為等價關係

Proof: 首先證明 Reflexivity：對所有 $m \in \mathbb{Z}$，則因為 $mod(m,5) = mod(m,5) $ 故滿足 $(m,m) \in \mathbb{R}$

接著證明 Symmetry：若 $m,n \in \mathbb{Z}$ 且 $(m,n) \in R$ 則我們有 $mod(m,5) = mod(n,5)$ ，由此可知 $mod(n,5) = mod(m,5)$。所以 $(n,m)\in R$ , i.e., $y \backsim x$

最後證明若 Transitivity： $m,n,k \in \mathbb{Z}$ 且 $(m,n) \in R$ 與 $(n,m) \in R$ 則由 $R$ 定義可知我們有 $mod(m,5) = mod(n,5)$ 與 $mod(n,5) = mod(k,5)$， 則 $\mod(m,5) = mod(k,5)$，所以$(m,k)\in {R}$ , i.e., $m \backsim k$ $\square$


Example 3 (非等價關係的例子)
取任意兩實數 $r,s$ 則我們定義關係 $$
R := \{(r,s) \in \mathbb{R}^2: r<s\}
$$
則我們宣稱上述關係並非等價關係：

Proof: 檢查 reflexivity, 取 $r \in \mathbb{R}$ 則可馬上得知 $r < r$ 為錯誤宣稱，亦即 $(r,r) \notin R$ ，故不滿足 reflexivity

讀者可自行檢查上述關係亦不滿足  symmetry 但滿足 transitivity