======================= Definition: (Symmetric matrix) 一個 $n \times n$ 實數 矩陣 $M$ 稱為 對稱 (symmetric) 矩陣 若 $M^T = M$。 Definition: (Quadratic form of matrix) 令 $x \in \mathbb{R}^n$ 實數向量 與 $M$ 為 $n \times n$ 實數對稱矩陣 ( $M^T =M$),則我們稱下列形式 \[ x^T M x \]為一個 M矩陣的 二次式 (quadratic form of matrix) ======================= Comment 1. 若 $x$ 為 complex vector,則 $M$ 的 二次式表示為 $x^* M x$。 2. 矩陣的二次式 $x^TMx$ 幫我們把 矩陣 轉成 純量 。 上面矩陣二次式 與 對稱矩陣 實際上有甚麼用呢? 事實上 對稱矩陣 具有非常特殊的 eigenvalue 性質,也就是 eigenvalue 保證必定是 實數 (沒有 complex part) 。而在系統理論裡面我們又知道 eigenvalue 對系統穩定性與系統性能至關重要,故我們先看一個結果: ===================== FACT: 對任意 實數對稱矩陣 $M$ 其 eigenvalue 必定為實數。 ===================== Proof: 由於實數矩陣可能具有 complex 的 eigenvalue 與 eigenvector,故我們必須考慮 eigenvalue 為複數的情況。現在令 $x$ 為 complex number 且我們透過 $M$ 的二次式 $x^* M x$ 來幫助我們 首先對 $M$ 的二次式再取一次 complex conjugate 可得 \[\begin{array}{l} {\left( {{x^*}Mx} \right)^*} = {x^*}{M^*}x\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}\mathop = \limits^{M\begin{array}{*{20}{c}}
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya