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[衍生商品] 淺談 Black-Scholes Model 的性質 (1) - Equivalence of Put Call Parity and Black-Scholes Formula.

延續上篇的 Black-Scholes Model 的性質,這次要介紹 Put-Call parity 與 Black-Scholes Formula 兩者等價。

回憶 Black-Scholes Formula
\[\left\{ \begin{array}{l}
C = {S_0}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)\\
P = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}N\left( { - {d_1}} \right)
\end{array} \right.
\] 其中 $C$ 為 Call option 價格,$P$ 為 Put Option 價格,$r$ 為無風險利率,$\sigma$ 為股價波動度,$K$ 為執行價格,$T$ 為到期時間, $N(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF),且\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln (S/K) + (r - q + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T)}}{{\sigma \sqrt T }}\\
{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T
\end{array} \right.\]

與 Put-Call parity
\[C - P = {S_0} - K{e^{ - rT}}
\]
===================
Claim: 
Black-Scholes Formula 滿足 Put-Call parity。
===================

Proof
計算 $C-P$:
將 Black-Scholes Formula 的結果帶入上式,可得
\[C - P = \left[ {{S_0}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)} \right] - \left[ {K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}N\left( { - {d_1}} \righ…

[動態規劃] 淺談 離散時間動態規劃 (2) -Minimax Dynamic programming

考慮系統狀態方程:
\[
x(k+1) = f(x(k), u(k))
\]現在引入一個 監測函數 (monitor function): $g(x(k))$ 此函數用來擷取我們所關心的系統狀態。

現在我們定義 cost function
\[
J(u) := \displaystyle \min_{k=1,2,...,N} g(x(k))
\]
我們的目標:
藉由選取最佳的 $u(k) \in \Omega_k$ 使得 $\max J(u)$,亦即
\[
\max \displaystyle \min_{k=1,2,...,N} g(x(k))
\]

此時我們的 Bellman equation 需要進行修正:
\[
I(x(l), N-l) = \max_{u(l) \in \Omega_l} \left \{ \min \left \{ g\left( x(l+1), I(x(l+1), N-(l+1)) \right ) \right \} \right\}
\]

Example
考慮如下狀態方程:
\[x\left( {k + 1} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}\\
{ - \frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}
\end{array}} \right]x\left( k \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right]u\left( k \right)
\] 其中 $x(k) := [x_1(k) \ x_2(k)]^T$;
現在,僅考慮 $N=2$ (只有兩步)的情況,另外控制力 $u(0), u(1) \geq 0$ 且需滿足如下拘束: $u(0) + u(1) \leq 1$,定義監測函數
\[
g(x(k)) = x_1(k)
\]
試求一組 $u^*(0), u^*(1)$ maximize the Floor of $g((k))$。

Solution
首先考慮 Optimal cost of one-step-to-go:  ($l=N-1 =1$)
\[
\begin{array}{l}
I\left( {x\lef…