回憶在線性系統理論中,我們說 系統為可觀測 (observable) 則可以設計觀察器(observer)。但若今天考慮的是 非線性 系統,我們是否能有類似的準則來告訴我們何時可以設計觀察器? 或者說是否能提供非線性系統 類比於系統觀察性( observability) 的條件呢? 答案是肯定的,在非線性系統裡面 我們可用 Incremental Input/output-to-state stability (i-IOSS) 來界定系統是否可觀察。 不過如果是只針對線性系統,則我們僅需要 IOSS 即可等價 observability;以下為定義: ======================= Definition: Input/output-to-state stability (IOSS) 假設非線性系統 $x^+ = f(x,w); \;\; y=h(x)$ 為 input/output-to-state stable (IOSS) 若下列條件成立: 對任意 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 與 $k \ge 0$,存在 $\beta(\cdot) \in \mathcal{KL}$ 與 $\gamma_1(\cdot), \gamma_2(\cdot) \in \mathcal{K}$ 使得 \[ |x(k;x_0, {\bf w})| \le \beta(|x_0|,k) + \gamma_1(||{\bf w}||) + \gamma_2 (||{\bf y}||) \]其中 $x(k;x_0,{\bf w})$ 為前述非線性系統 在時間 $k$ 與 初始條件 $x_0$ 輸入為 ${\bf w}$的解;另外 $||{\bf w}|| := \max_{j\ge 0} |w(j)|, ||{\bf y}|| := \max_{j\ge 0} |y(j)|$ ======================= 那麼有了上述結果,我們應立即想到此定義對於原本線性系統是否有用? 現在我們看個例子: Example 考慮離散時間 線性系統 \[\begin{array}{l} {x^ + } = Ax + Gw\\ y = Cx \end{array}\]試證若系統為 observable,則 系統為 Inp
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya