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[系統理論] 線性系統的 Input/Output to State Stability

回憶在線性系統理論中,我們說 系統為可觀測 (observable) 則可以設計觀察器(observer)。但若今天考慮的是 非線性系統,我們是否能有類似的準則來告訴我們何時可以設計觀察器? 或者說是否能提供非線性系統 類比於系統觀察性( observability) 的條件呢?

答案是肯定的,在非線性系統裡面 我們可用 Incremental Input/output-to-state stability (i-IOSS) 來界定系統是否可觀察。 不過如果是只針對線性系統,則我們僅需要 IOSS 即可等價 observability;以下為定義:


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Definition: Input/output-to-state stability (IOSS)
假設非線性系統 $x^+ = f(x,w); \;\; y=h(x)$ 為 input/output-to-state stable (IOSS) 若下列條件成立:
對任意 $x_0 \in \mathbb{R}^n$ 與 $k \ge 0$,存在 $\beta(\cdot) \in \mathcal{KL}$ 與 $\gamma_1(\cdot), \gamma_2(\cdot) \in \mathcal{K}$ 使得
\[
|x(k;x_0, {\bf w})| \le \beta(|x_0|,k) + \gamma_1(||{\bf w}||) + \gamma_2 (||{\bf y}||)
\]其中 $x(k;x_0,{\bf w})$ 為前述非線性系統 在時間 $k$ 與 初始條件 $x_0$ 輸入為 ${\bf w}$的解;另外 $||{\bf w}|| := \max_{j\ge 0} |w(j)|, ||{\bf y}|| := \max_{j\ge 0} |y(j)|$
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那麼有了上述結果,我們應立即想到此定義對於原本線性系統是否有用? 現在我們看個例子:

Example
考慮離散時間 線性系統
\[\begin{array}{l}
{x^ + } = Ax + Gw\\
y = Cx
\end{array}\]試證若系統為 observable,則 系統為 Input-Output State Stable …

[Mathematica] FinancialData 函數擷取股價資料

利用 Mathematica 中的 FinancialData 函數 擷取股價資料

關於 FinancialData[] 函數的功能 這邊簡單介紹如下:
FinancialData 可用以檢索美國債卷、選擇權、共同基金、指數與股價、貨幣匯率及各種相關金融證卷資訊。另外若需存取 美國公司股價可透過指派該公司的 ticker:e.g., NYSE:GE, ...等等;且關於 FinancialData 可檢索的股價時間包含 "Day", "Week", "Month", "Year";更多細節請參閱以下 官方 Wolfram 網址
https://reference.wolfram.com/language/ref/FinancialData.html

以下為使用 FinancialData 擷取股價的一些例子:
 (注意:使用者須備有 Mathematica 6 以後的版本才能使用 FinancialData函數與其相關功能。)

Example 1: 繪製 IBM 自 2013年 至 2015 年 "每月" 股價:

Example 2: 繪製 IBM 自 2000 年 至 2015 年 "每年" 股價:



Example 3: 繪製 IBM 自 2000 年 1 月 1 日 以來的股價:


Example 4: 同時繪製 IBM 與 Morgan Stanley (MS) 自 2000 年以來的股價