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[最佳化] 無窮維 Weierstrass 極值定理

=================== Infinite Dimensional Weierstrass Extreme Theorem: 令 $X$ 為 normed vector space 且 $K \subset X$ 為 compact set 。若 $f$ 為 upper semicontinuous on $K$ 則 $f$ 在 $K$上可達到最大值,亦即 存在 $x \in K$ 使得 \[ f(x) = \sup_{z \in K} f(z) \]================= Proof: 要證明   $f$ 在 $K$上可達到最大值,亦即 存在 $x \in K$ 使得 \[ f(x) = \sup_{z \in K} f(z) \]上式等價為 \[ f(x) \geq \sup_{z \in K} f(z) \;\;\; \text{and } \; f(x) \leq \sup_{z \in K} f(z) \] 注意到 $f(x) \leq \sup_{z\in K} f(z)$ 為顯然,故以下僅需證明\[ f(x) \geq \sup_{z \in K} f(z) \] 令 $M:= \sup_{z \in K} f(z)$ 則由 supremum 性質可知存在數列 $\{x_n\} \subset K$ 使得 \[ f(x_n) \to M \;\;\;\; (*) \] 由於 $K$ 為 compact 故必定存在 $\{x_n\} $ 的子數列 記作 $\{x_{n_k}\} \subset K$  使得其收斂在  $x \in K$ ,另外由於 式子 $(*)$ ,我們可推知子數列亦滿足 \[ f( x_{n_k} ) \to M \;\;\;\; \text{ as $k \to \infty$}  \]由於 $f$ 為 upper semicontinuous on $K$,可知 \[ \limsup_{z \to x} f(z) \leq f(x) \]由 $\limsup$ 的 數列與函數數列性質 ,我們有 \[ \limsup_{k \to \infty} f(x_{n_k}) \leq \limsup_{z \to x} f(z)  \;\;\;\; (\st