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[動態系統] 非線性一階動態系統

考慮 1階  ODE 動態系統 可表示 如下
\[
\dot x = f(x)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^d$ 為狀態變數, $ f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$,亦即我們可將其改寫為
\[\begin{array}{l}
\dot x = f\left( x \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1} = {f_1}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)\\
{{\dot x}_2} = {f_2}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)\\
 \vdots \\
{{\dot x}_d} = {f_d}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\] 上述系統我們稱做 autonomous system。

Comments:
1. autonomous system 的 autonomous 源自希臘,意指與時間無關 (independent of time $t$ )
2. 如果 $\dot x = f(x, t)$ 此時系統稱作 non-autonomous system。但我們可以透過引入新的 狀態變數 將系統改寫回 autonomous system。


Example
考慮 non-autonomous system 如下
\[
\dot x = f(x,t)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^d$ 且 $f: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^d$。則我們可令 $y:= t$ 且 $\dot y =1$ 改寫原式
\[\dot x = f(x,t) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = f(x,y)\\
\dot y = 1
\end{array} \right.\]此時我們可發現若將 提高系統 1維度 (引入額外狀態變數 $y := t$ )作為代價,則可以將 non-autonomous system 改寫為 autonomous system。

接著我們想探討儘管低維…