[動態系統] 非線性一階動態系統

考慮 1階  ODE 動態系統 可表示 如下
\[
\dot x = f(x)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^d$ 為狀態變數, $ f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$，亦即我們可將其改寫為
\[\begin{array}{l}
\dot x = f\left( x \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1} = {f_1}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)\\
{{\dot x}_2} = {f_2}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)\\
 \vdots \\
{{\dot x}_d} = {f_d}\left( {{x_1},...,{x_d}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\] 上述系統我們稱做 autonomous system。

Comments:
1. autonomous system 的 autonomous 源自希臘，意指與時間無關 (independent of time $t$ )
2. 如果 $\dot x = f(x, t)$ 此時系統稱作 non-autonomous system。但我們可以透過引入新的 狀態變數 將系統改寫回 autonomous system。


Example
考慮 non-autonomous system 如下
\[
\dot x = f(x,t)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^d$ 且 $f: \mathbb{R}^d \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^d$。則我們可令 $y:= t$ 且 $\dot y =1$ 改寫原式
\[\dot x = f(x,t) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = f(x,y)\\
\dot y = 1
\end{array} \right.\]此時我們可發現若將 提高系統 1維度 (引入額外狀態變數 $y := t$ )作為代價，則可以將 non-autonomous system 改寫為 autonomous system。

接著我們想探討儘管低維度情況，動態系統仍然非常複雜。

Example: Nonlinear Lorenz System
考慮 $(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3$，
\[\left\{ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1} = \sigma \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\
{{\dot x}_2} = r{x_1} - {x_2} - {x_3}{x_1}\\
{{\dot x}_3} = {x_1}{x_2} - \beta {x_3}
\end{array} \right.\]上述系統稱為 Lorenz System ，其中 $\sigma, r,\beta$ 為系統參數。一般而言常見的情況為 $\sigma = 10; r=28\; \beta = 4/3$。Lorenz 發現上述非線性系統方程的解存在 混沌(Chaotic)現象 (亦即對初始條件十分敏感)，並用此系統加以闡述天氣的不可預測性 (蝴蝶效應)：

"Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?" E. Lorenz, 1972

這說明了儘管在低維度情況，非線性系統的行為仍然可能非常複雜。那麼在複雜之中是否可以看出一些端倪? 我們需要新的想法來幫助我們：比如說系統初始行為可能很複雜，但是否可以僅僅觀察其穩態的情況?


平衡點 (equilibrium point)
現在我們回頭考慮一般的動態方程： $\dot x = f(x)$，若 $\bar x \in \mathbb{R}^d$ 為 $f$ 的零點 (zero)，亦即
\[
f(\bar x) =0
\]則 動態方程有常數解 $x(t) = \bar x$，我們稱此點 $\bar x$ 為 平衡解 或稱 平衡點 (equilibrium point) 或稱 穩態解 (steady-state solution) 或者 固定點 (fixed point)。

注意到 平衡點可以是 穩定的平衡點  (受小擾動後處在平衡點的系統平衡狀態被打破但可再度回到同一個平衡點) 亦可為 不穩定的平衡點 (受小擾動後處在平衡點的系統平衡狀態被打破且不再回到平衡點 或者 產生來回震盪)。


穩定平衡點判別
考慮一 autonomous 系統為 $\frac{dx}{dt} = f(x)$ 且 $x = \bar x$ 為此系統之一組平衡點。若 \[{\left. {\frac{{df(x)}}{{dx}}} \right|_{x = \bar x}} < 0\]則我們說 $\bar x$ 為穩定平衡點