[機率論] Exponential Random Variables

Definition: Exponential Random Variable
令 $\tau$ 為 隨機變數 且其 機率密度(probability density) 滿足
$$f_\tau\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l} \lambda {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}t \ge 0\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}t < 0 \end{array} \right.$$ 其中 $\lambda >0$ 為常數。則我們說 $\tau$ 為 exponential distribution 或者說 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數


Example:
令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數，試計算 $E [\tau ]=?$ (hint: 利用 integration by part)

Solution:
由期望值定義， $$\begin{array}{l} E[\tau]  = \int_0^\infty  {tf\left( t \right)dt}  = \lambda \int_0^\infty  {t{e^{ - \lambda t}}dt} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}\; \end{array} = \lambda \left[ {\left. {t\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  - \left( {\int_0^\infty  {\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}dt} } \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}\; \end{array} = \left. { - t{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{ - \lambda }}\left. {{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  = \frac{1}{\lambda } \end{array}$$

Example
令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數，
(a) 試計算 累積機率分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) $F_\tau(t) = P(\tau \le t)$
(b) 試計算 $P(\tau > t)$
Solution
(a) 由CDF定義： $${F_\tau }(t) = P(\tau  \le t) = \int_0^t {f\left( t \right)dt}  = \int_0^t {\lambda {e^{ - \lambda \tau }}d\tau }  = 1 - {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}t \ge 0$$
(b) 由於 $P(\tau > t) = 1 - P(\tau \le t)$ 由  (a) 可知 $P(\tau > t) = e^{-\lambda t}$, $t \ge 0$ $\square$


Memoryless property
考慮等待某事件發生 (比如某債卷即將違約)，且已知 此事件發生時間 $\tau$ 的 機率分布 服從 exponential 分布且 mean 為 $1/ \lambda$ (亦即 $\tau$ 為參數 $\lambda$ 的 Exponential 隨機變數 ) 假設我們已經等了 $s$ 個單位時間，想問我們再等額外多少個 $t$ 單位時間 才會發生此事件的機率為何?

 此債卷違約機率可計算如下
$$\begin{align*} P\left( {\tau  > t + s|\tau  > s} \right) &= \frac{{P\left( {\tau  > t + s,\tau  > s} \right)}}{{P\left( {\tau  > s} \right)}}\\ &= \frac{{P\left( {\tau  > t + s} \right)}}{{P\left( {\tau  > s} \right)}} \\ &= \frac{{{e^{ - \lambda \left( {t + s} \right)}}}}{{{e^{ - \lambda s}}}} = \underbrace {{e^{ - \lambda t}}}_{ = P\left( {\tau  > t} \right)} \end{align*}$$ 上述結果顯示了 在等待 $s$ 單位時間後，再等額外多少個 $t$ 單位時間 才會發生此事件的機率 與 直接 從 時間 $0$ 開始 等到  $t$ 單位時間後 的機率相等。且分布仍為 exponential 分布，我們稱此性質為 Exponential 隨機變數的 失憶性 (memorylessness )