[機率論] 特性函數(1) - Properties

給定隨機變數 $X$，我們可以定義其對應的特性函數 (characteristic function) 如下： \[
\phi_X(t):= E [e^{itX}]
\]
Comment: 
1. 特性函數可視為 Fourier Transform。
2. 特性函數只與 $X$ 的 distribution 有關。
3. 特性函數滿足下列關係：$\phi(0)=1 $ 且
\[\left| {{\phi _X}(t)} \right| = \left| {E[{e^{itX}}]} \right| \le E\left[ {\left| {{e^{itX}}} \right|} \right] \le 1\]
4. 特性函數為 uniformly continuous on $\mathbb{R}$。亦即
對任意  $t \in \mathbb{R}$，我們有
\[\begin{array}{l}
\left| {\phi \left( {t + h} \right) - \phi \left( t \right)} \right| = \left| {E{e^{i\left( {t + h} \right)X}} - E{e^{i\left( t \right)X}}} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left| {E\left[ {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right]} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le E\left[ {\left| {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right|} \right] \to 0 \;\;  \text{as  $\; h \downarrow 0$}
\end{array}\]上述極限成立因為 Dominated Convergence Theorem。
5. 若對任意 $t \in \mathbb{R}$ n-th moment 皆存在 則
\[{\phi _X}\left( t \right) = E{e^{itX}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{E\left[ {{{\left( {itX} \right)}^k}} \right]}}{{k!}}} \]
且若 $E|X|^n <\infty$ 我們亦可對其 Taylor Expansion around $t=0$ 亦即
\[{\phi _X}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{E\left[ {{{\left( {itX} \right)}^k}} \right]}}{{k!}}}  + o\left( {{t^n}} \right)\]

Example: 若給定 隨機變數 $X,Y$ 且 $X,Y$ 彼此互為獨立，現在定義 $Z:=X+Y$，試求其 特性函數 $\phi_{Z}(t) =?$

由特性函數定義：
\[\begin{array}{l}
{\phi _Z}(t) = E\left[ {{e^{itZ}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {X + Y} \right)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}{e^{it\left( Y \right)}}} \right]
\end{array}\]由於 $X$ 與 $Y$ 互為獨立，故
\[{\phi _Z}(t) = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}{e^{it\left( Y \right)}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}} \right]E\left[ {{e^{it\left( Y \right)}}} \right] = {\phi _X}(t){\phi _Y}(t)\]

Example: 現在考慮 隨機變數 sequence $\{X_i\}$ 為 i.i.d. ，現在定義 $S_n:=X_1+X_2+...+X_n$，試求其 特性函數 $\phi_{S_n}(t) =?$
Solution
\[\begin{array}{l}
{\phi _{{S_n}}}(t) = E\left[ {{e^{it{S_n}}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right]

\end{array}\]由於 $\{X_i\}$ 為 i.i.d.，故其具有共同的 distribution，又 特性函數完全由 distribution 決定，故可知 $\phi_{X_1} = \phi_{X_2} = ... \phi_{X_n} := \phi$
\[{\phi _{{S_n}}}(t) = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {\underbrace {E\left[ {{e^{it\left( {{X_i}} \right)}}} \right]}_{ = \phi (t)}}  = {\left( {\phi (t)} \right)^n}\]

Example: 同上題，考慮 隨機變數 sequence $\{X_i\}$ 為 i.i.d. ，並定義 $S_n:=X_1+X_2+...+X_n$，試求其 特性函數 $\phi_{S_n/n}(t) =?$

Solution
\[\begin{array}{l}
{\phi _{{S_n}/n}}(t) = E\left[ {{e^{it\frac{{{S_n}}}{n}}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}}}{n}} \right)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right]
\end{array}\]由於 $\{X_i\}$ 為 i.i.d.，故其具有共同的 distribution，又 特性函數完全由 distribution 決定，故可知 $\phi_{X_1} = \phi_{X_2} = ... \phi_{X_n} := \phi$：
\[{\phi _{{S_n}/n}}(t) = E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {\underbrace {E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_i}} \right)}}} \right]}_{ = \phi (\frac{t}{n})}}  = {\left( {\phi (\frac{t}{n})} \right)^n}\]

FACT:
若 $E|X|^2 < \infty$，則 $\varphi(t) = 1 + it EX - t^2 \frac{E[(itX)^2]}{2}+o(t^2)$

Proof:
事實上，由 先前的 comment 5 可知
\[{\phi _X}\left( t \right) = 1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}} + o\left( {{t^2}} \right) + H.O.T.\]但我們僅有假設 $E|X|^2 < \infty$ 故高階項不保證有界。

但所幸我們仍有以下不等式
\[E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right]\]且我們可進一步確認其具有上界為
\[E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right] \le E\left[ {{{\left| {tX} \right|}^2}} \right]\]故由 Dominated Convergence Theorem 可知
\[\begin{array}{l}
E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right] \le E\left[ {{{\left| {tX} \right|}^2}} \right]\\
 \Rightarrow E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \to 0
\end{array}\]

[機率論] Exponential Random Variables

Definition: Exponential Random Variable
令 $\tau$ 為 隨機變數 且其 機率密度(probability density) 滿足
\[f_\tau\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\lambda {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t \ge 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.\]其中 $\lambda >0$ 為常數。則我們說 $\tau$ 為 exponential distribution 或者說 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數


Example:
令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數，試計算 $E [\tau ]=?$ (hint: 利用 integration by part)

Solution:
由期望值定義，\[\begin{array}{l}
E[\tau]  = \int_0^\infty  {tf\left( t \right)dt}  = \lambda \int_0^\infty  {t{e^{ - \lambda t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}\;
\end{array} = \lambda \left[ {\left. {t\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  - \left( {\int_0^\infty  {\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}dt} } \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}\;
\end{array} = \left. { - t{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{ - \lambda }}\left. {{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  = \frac{1}{\lambda }

\end{array}\]

Example
令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數，
(a) 試計算 累積機率分布函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) $F_\tau(t) = P(\tau \le t)$
(b) 試計算 $P(\tau > t)$
Solution
(a) 由CDF定義：\[{F_\tau }(t) = P(\tau  \le t) = \int_0^t {f\left( t \right)dt}  = \int_0^t {\lambda {e^{ - \lambda \tau }}d\tau }  = 1 - {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}

\end{array}t \ge 0\]
(b) 由於 $P(\tau > t) = 1 - P(\tau \le t)$ 由  (a) 可知 $P(\tau > t) = e^{-\lambda t}$, $t \ge 0$ $\square$


Memoryless property
考慮等待某事件發生 (比如某債卷即將違約)，且已知 此事件發生時間 $\tau$ 的 機率分布 服從 exponential 分布且 mean 為 $1/ \lambda$ (亦即 $\tau $ 為參數 $ \lambda$ 的 Exponential 隨機變數 ) 假設我們已經等了 $s$ 個單位時間，想問我們再等額外多少個 $t$ 單位時間 才會發生此事件的機率為何?

 此債卷違約機率可計算如下
\begin{align*}
P\left( {\tau  > t + s|\tau  > s} \right) &= \frac{{P\left( {\tau  > t + s,\tau  > s} \right)}}{{P\left( {\tau  > s} \right)}}\\
&= \frac{{P\left( {\tau  > t + s} \right)}}{{P\left( {\tau  > s} \right)}} \\
&= \frac{{{e^{ - \lambda \left( {t + s} \right)}}}}{{{e^{ - \lambda s}}}} = \underbrace {{e^{ - \lambda t}}}_{ = P\left( {\tau  > t} \right)}
\end{align*}上述結果顯示了 在等待 $s$ 單位時間後，再等額外多少個 $t$ 單位時間 才會發生此事件的機率 與 直接 從 時間 $0$ 開始 等到  $t$ 單位時間後 的機率相等。且分布仍為 exponential 分布，我們稱此性質為 Exponential 隨機變數的 失憶性 (memorylessness )