[機率論] 特性函數(1) - Properties

給定隨機變數 $X$，我們可以定義其對應的特性函數 (characteristic function) 如下：  $$\phi_X(t):= E [e^{itX}]$$
Comment: 
1. 特性函數可視為 Fourier Transform。
2. 特性函數只與 $X$ 的 distribution 有關。
3. 特性函數滿足下列關係：$\phi(0)=1$ 且
$$\left| {{\phi _X}(t)} \right| = \left| {E[{e^{itX}}]} \right| \le E\left[ {\left| {{e^{itX}}} \right|} \right] \le 1$$
4. 特性函數為 uniformly continuous on $\mathbb{R}$。亦即
對任意  $t \in \mathbb{R}$，我們有
$$\begin{array}{l} \left| {\phi \left( {t + h} \right) - \phi \left( t \right)} \right| = \left| {E{e^{i\left( {t + h} \right)X}} - E{e^{i\left( t \right)X}}} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \left| {E\left[ {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right]} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le E\left[ {\left| {{e^{i\left( t \right)X}}\left( {{e^{i\left( h \right)X}} - 1} \right)} \right|} \right] \to 0 \;\;  \text{as  $\; h \downarrow 0$} \end{array}$$ 上述極限成立因為 Dominated Convergence Theorem。
5. 若對任意 $t \in \mathbb{R}$ n-th moment 皆存在 則
$${\phi _X}\left( t \right) = E{e^{itX}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{E\left[ {{{\left( {itX} \right)}^k}} \right]}}{{k!}}}$$
且若 $E|X|^n <\infty$ 我們亦可對其 Taylor Expansion around $t=0$ 亦即
$${\phi _X}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{E\left[ {{{\left( {itX} \right)}^k}} \right]}}{{k!}}}  + o\left( {{t^n}} \right)$$

Example: 若給定 隨機變數 $X,Y$ 且 $X,Y$ 彼此互為獨立，現在定義 $Z:=X+Y$，試求其 特性函數 $\phi_{Z}(t) =?$

由特性函數定義：
$$\begin{array}{l} {\phi _Z}(t) = E\left[ {{e^{itZ}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {X + Y} \right)}}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}{e^{it\left( Y \right)}}} \right] \end{array}$$ 由於 $X$ 與 $Y$ 互為獨立，故
$${\phi _Z}(t) = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}{e^{it\left( Y \right)}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( X \right)}}} \right]E\left[ {{e^{it\left( Y \right)}}} \right] = {\phi _X}(t){\phi _Y}(t)$$

Example: 現在考慮 隨機變數 sequence $\{X_i\}$ 為 i.i.d. ，現在定義 $S_n:=X_1+X_2+...+X_n$，試求其 特性函數 $\phi_{S_n}(t) =?$
Solution
$$\begin{array}{l} {\phi _{{S_n}}}(t) = E\left[ {{e^{it{S_n}}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] \end{array}$$ 由於 $\{X_i\}$ 為 i.i.d.，故其具有共同的 distribution，又 特性函數完全由 distribution 決定，故可知 $\phi_{X_1} = \phi_{X_2} = ... \phi_{X_n} := \phi$
$${\phi _{{S_n}}}(t) = E\left[ {{e^{it\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {\underbrace {E\left[ {{e^{it\left( {{X_i}} \right)}}} \right]}_{ = \phi (t)}}  = {\left( {\phi (t)} \right)^n}$$

Example: 同上題，考慮 隨機變數 sequence $\{X_i\}$ 為 i.i.d. ，並定義 $S_n:=X_1+X_2+...+X_n$，試求其 特性函數 $\phi_{S_n/n}(t) =?$

Solution
$$\begin{array}{l} {\phi _{{S_n}/n}}(t) = E\left[ {{e^{it\frac{{{S_n}}}{n}}}} \right] = E\left[ {{e^{it\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}}}{n}} \right)}}} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] \end{array}$$ 由於 $\{X_i\}$ 為 i.i.d.，故其具有共同的 distribution，又 特性函數完全由 distribution 決定，故可知 $\phi_{X_1} = \phi_{X_2} = ... \phi_{X_n} := \phi$：
$${\phi _{{S_n}/n}}(t) = E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \right)}}} \right] = \prod\limits_{i = 1}^n {\underbrace {E\left[ {{e^{i\frac{t}{n}\left( {{X_i}} \right)}}} \right]}_{ = \phi (\frac{t}{n})}}  = {\left( {\phi (\frac{t}{n})} \right)^n}$$

FACT:
若 $E|X|^2 < \infty$，則 $\varphi(t) = 1 + it EX - t^2 \frac{E[(itX)^2]}{2}+o(t^2)$

Proof:
事實上，由 先前的 comment 5 可知
$${\phi _X}\left( t \right) = 1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}} + o\left( {{t^2}} \right) + H.O.T.$$ 但我們僅有假設 $E|X|^2 < \infty$ 故高階項不保證有界。

但所幸我們仍有以下不等式
$$E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right]$$ 且我們可進一步確認其具有上界為
$$E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right] \le E\left[ {{{\left| {tX} \right|}^2}} \right]$$ 故由 Dominated Convergence Theorem 可知
$$\begin{array}{l} E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \le E\left[ {\min \left\{ {{{\left| {tX} \right|}^3},2{{\left| {tX} \right|}^2}} \right\}} \right] \le E\left[ {{{\left| {tX} \right|}^2}} \right]\\  \Rightarrow E\left| {{e^{itX}} - \left( {1 + itE\left[ X \right] - \frac{{{t^2}E\left[ {{X^2}} \right]}}{{2!}}} \right)} \right| \to 0 \end{array}$$