\[
E[X] := \int_{\Omega} X d P = \int_\Omega X(\omega) P(d\omega)
\]
我們由 Simple Function 出發 逐步建構 Lebesgue integral：
Step 1: Simple function 的期望值：
首先，我們定義 $X$ 為一個 simple function。亦即此函數可由 可測集合 (measurable sets $A_i$ ) 的 Indicator function 所組成。我們將其寫作是 Finite sum 如下：
\[
X = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_i 1_{A_i}
\]其中 $c_i \in \mathbb{R}$， $A_i \in \mathcal{F}$ 且
\[{1_A}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}if\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \in A\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}if\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \notin A
\end{array} \right.\]則我們定義 對此 Simple function $X$ 的期望值 (或稱對此 Simple function 的 Integral)為
\[
E[X] := \int X dP := \sum_{i=1}^n c_i P( \{A_i\} )
\]接著，我們定義對 非負隨機變數 的期望值：
對任意 非負隨機變數 $Y$ $(Y : \Omega \rightarrow [0,1])$，我們定義 $Y$ 的期望值為上述 simple function 的期望值的 supremum，亦即
\[
E[Y] := \sup \{E[X]: 0 \leq X \leq Y \ \text{with $X$ a simple function} \}
\] 注意到 $E[X] := \int X dP := \sum_{i=1}^n c_i P(\{A_i\}) $
有了上述定義，我們可以拓展到一般的隨機變數：
Step 3: 一般隨機變數的期望值：
最後，對一般的 隨機變數的情況，該如何定義其期望值呢?
想法如下：
透過將 一般隨機變數 轉換為 上述 非負隨機變數，再用上述非負隨機變數所定義的期望值 即可。
故現在考慮 $Y$ 為任意隨機變數，我們引入兩個 新的非負隨機變數 $Y^+, Y^- \geq 0$ (此法類似線性規劃中，將最佳化問題改寫成標準型式所加入的 slack variable: 有興趣的讀者請參考: [最佳化] 淺談線性規劃(0)- Standard form of Linear Programming )：
\[
Y^+ := Y \cdot 1_{ \{ Y \geq 0 \} }\\
Y^- := -Y \cdot 1_{ \{ Y \leq 0 \}}
\]那麼現在觀察上述 新引入的隨機變數，我們可知其與原本任意隨機變數有如下關係：
\[
Y=Y^+ - Y^-
\]且上述新的隨機變數 (由於 $Y^+, Y^- \geq 0$)，故其期望值可由先前所定義的 非負隨機變數期望值定義而得，故 $E[Y^+], E[Y^-]$ 為 well-defined。有了這些結果我們可以定義對一般隨機變數 $Y$ 的期望值為：
\[
E[Y] := E[Y^+] - E[Y^-] \ \ \ \ (*)
\]上式為 well-defined 若 $E[Y^+], E[Y^-]$ 並非全為 $\infty$ (亦即只要不要發生 $\infty - \infty$ 的情況，則上述定法的期望值 $E[Y]$ 都是 well-defined。 )
Comment:
1. 上式 $(*)$ 與下列積分等價：
\[
\int Y dP := \int Y^+ dP - \int Y^- dP
\]
2. 若 $E|X| = E[X^+] + E[X^-] < \infty$ 則我們稱 $X$ 有 finite expectation，(因為 $E[X^+] < \infty$ 且 $E[X^-] < \infty$)。
3. 如果現在給定 $X$ 但想計算 $X$ 在某個子集上的期望值，也就是說我們現在不是取整個樣本空間 $\Omega$ 而是只有某個 $\mathcal{F}$ 中的集合 $A \in \mathcal{F}$ 則我們仍可求其期望值
\[
\int_A X dP = \int_\Omega X 1_A dP = E[X 1_A]
\]上式稱作 integral of $X$ with respect to $P$ over $A$。另外若此積分存在且有限，則我們稱 $X$ 為 integrable with respect to $P$ over $A$
注意到期望值 $E[X] = \int_\Omega X dP $ 仍不容易計算，因為樣本空間 $\Omega$ 可以內含各式各樣奇形怪狀的東西比如說 $\Omega:=\{apple, orange...\}$，此時計算 $E[X]$ 顯然會過於抽象。那麼我們想問什麼時候才可能比較容易計算 $E[X]$？答案是如果 能給出 $X$ 的 累積分佈函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) , 記作 $F$, with respect to $P$，亦即 $F(x) := P(X \le x)$ 則 $E[X]$ 可計算如下
\[
E[X] = \int_\Omega X dP = \int_{-\infty}^{\infty} x dF(x) \;\;\;\;\; (*)
\]讀者應注意到第二等式 內含的是 $x$ 不是 $X$，且 上式 $(*)$ 為 Riemann-Stigjies Integral。
若 $X$ 有機率密度函數 (Probability Density Function, f) with respect to $P$ 則回憶機率密度函數定義為 $dF(x)/dx = f(x)$ 故我們可以得到更容易計算的期望值如下
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x dF(x) = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx
\]但上式有一定限制，因為任意隨機變數必定存在 CDF 但不一定有 PDF (因為 CDF 不一定可微，故不一定有 PDF)
Comments:
1. 若 $g$ 為 measurable 函數 on $\mathbb{R}$ 則我們亦可計算 $E[g(X)]$，亦即
\[
E[g(X)] = \int_\Omega g(X) dP = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)dx
\]
2. 若 $X$ 為離散隨機變數取值為 $x_1,...,x_n$ 且 具有 probability mass function, pmf with respect to $P$, 記作 $P(X = x_n) = p(x_n)$, 則
\[
E[X] = \sum_{n=1}^\infty x_n p(x_n)
\]
且
\[
E[g(X)] = \sum_{n=1}^\infty g(x_n) p(x_n)
\]
現在看幾個例子：
Example 1:
$\Omega :=\{1,2,3,4\}$ 且 $\mathcal{F} := \sigma ( \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\})$ 且 令隨機變數 $X = i$ 其中 $i=1,2,3,4$ 且
\[
P(X=1)=1/2;\;\; P(X=2) = 1/4;\;\; P(X=3)=1/6;\;\; P(X=4)=1/12
\]現在令 $X:= 5 \cdot 1_{\{X=1\}} + 2 \cdot 1_{\{X=2\}} - 4 \cdot 1_{\{X=3 \text{ or } X=4\}}$。試求 $E[X]=?$
Solution:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
E[X] = \int_\Omega {XdP = \sum\limits_n^{} {{x_n}P\left( {X = {x_n}} \right)} } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 5\int_\Omega {{1_{\left\{ {X = 1} \right\}}}dP} + 2\int_\Omega {{1_{\left\{ {X = 2} \right\}}}dP} - 4\int_\Omega {{1_{\left\{ {X = 3orX = 4} \right\}}}dP}
\end{array}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 5 \cdot P\left( {X = 1} \right) + 2 \cdot P\left( {X = 2} \right) - 4 \cdot \underbrace {P\left( {X = 3orX = 4} \right)}_{ = P\left( {\left\{ {X = 3} \right\} \cup \left\{ {X = 4} \right\}} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right)}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 5\left( {\frac{1}{2}} \right) + 2\left( {\frac{1}{4}} \right) - 4\left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{{12}}} \right) = 2}
\end{array}\]
Example 2:
同上題，試求 $E[X^2]=?$
Solution:
\[\begin{array}{l}
E[{X^2}] = \int_{ - \infty }^\infty {{x^2}f\left( x \right)dx} = \sum\limits_n^{} {{{\left( {{x_n}} \right)}^2}P\left( {X = {x_n}} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 5P\left( {X = 1} \right) + 2P\left( {X = 2} \right) + 4P\left( {\left\{ {X = 3} \right\} \cup \left\{ {X = 4} \right\}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 25\left( {\frac{1}{2}} \right) + 4\left( {\frac{1}{4}} \right) + 16\left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{{12}}} \right) = \frac{{35}}{2}
\end{array}\]
Example 3:
假設 $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ 亦即我們有 pdf
\[
f_X(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \exp(-x^2/2)
\]試證 $E[X]=0$
Proof:
觀察 \[\begin{array}{l}
E[X] = \int_\Omega {XdP} = \int_{ - \infty }^\infty {xdF\left( x \right)} = \int_{ - \infty }^\infty {xf\left( x \right)dx} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty {x\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - {x^2}/2} \right)dx} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^\infty {x{e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}}}dx}
\end{array}\]現在令\[u = \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow 2du = 2xdx\]則 $E[X] = 0$
上述積分有更快速的做法如下：因為 被積函數 $x exp(-x^2/2)$ 為奇函數，且積分範圍對原點對稱 $(-\infty, \infty)$ 故積分為零。此法同理可證 $E[X^3]=E[X^5]=E[X^{2k+1}] = 0$ $k\in \mathbb{N} $
Example 4:
令 $a>0$，設 $F$ 為在 $[0, 3a]$ 上的連續函數滿足
\[F\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\pi ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}0 \le x < a\\
4 + a - x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}a \le x < 2a\\
{\left( {x - 2a} \right)^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x \ge 2a
\end{array} \right.
\]且在 $(0, 3a)$ 有一階導數連續 $F' = f$ 且 $f \in L^1(0,3a)$ 試計算 下列 Lebesgue-Stieltjes integral,
\[\int_{\left( {0,3a} \right]}^{} {xdF\left( x \right)}
\]
Solution
Lebesgue-Stieltjes integral 重點在於對於不連續處需給定其測度值。給定之後其餘部分如同一般微積分課程中採用的積分方法計算即可。故我們直接求解
\[\begin{array}{l}
\int_{\left( {0,3a} \right]}^{} {xdF\left( x \right)} = \int_{\left( {0,a} \right]}^{} {xd\left( \pi \right)} + \int_{\left( {a,2a} \right]}^{} {xd\left( {4 + a - x} \right)} + \int_{\left( {2a,3a} \right]}^{} {xd{{\left( {x - 2a} \right)}^2}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} + {\left. {x\left( {F\left( x \right) - F\left( {x - } \right)} \right)} \right|_{x = a}} + {\left. {x\left( {F\left( x \right) - F\left( {x - } \right)} \right)} \right|_{x = 2a}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = 0 - \int_{\left( {a,2a} \right]}^{} {xdx} + 2\int_{\left( {2a,3a} \right]}^{} {x\left( {x - 2a} \right)dx} + a\left( {4 - \pi } \right) + 2a\left( { - 4 + a} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{8{a^3}}}{3} - \left( {4 + \pi } \right)a \ \ \ \ \square
\end{array}\]
一些期望值性質我們將其記錄如下：令 令 $a,b \in \mathbb{R}$ 且 $X,Y$ 為隨機變數，回憶 $E[X \cdot 1_A] = \int_A X dP$ 則
Property (1): Absolutely Integrability
\[
\int_A XdP < \infty \Leftrightarrow \int_A |X| dP < \infty
\]
Property (2): Linearity
\[
\int_A (a X + bY)dP = a \int_A X dP + b \int_A Y dP
\]
Property (3): Countably Additivity over sets
若 $\{A_n\}$ disjoint set sequences 則
\[
\int_{\cup_n A_n} X dP = \sum_n \int_{A_n} X dP
\]
Property (4): Nonnegativity
若 $X \ge 0$ $P$-almost surely (記作 $P$-a.s.)，則
\[
\int_A X dP \ge 0
\]其中 $P$-a.s. 表示 $P(X \ge 0) = 1$。
comments: 為何要在意 almost surely? 因為我們只關心測度非零的區域，測度為零的情況比如說 單點的測度為零我們並不關心。
Property (5): Monotonicity
若 $X_1 \le X \le X_2$ almost surely 則
\[
\int_A X_1 dP \le \int_A X dP \le \int_A X_2 dP
\]
Property (6): Modulus Inequality
\[
\left| \int_A X dP \right| \le \int_A |X| dP
\]
有了上述期望值的概念之後，我們可以看看如果我們取 limit 甚麼時候可以與 積分互換：也就是說 若現在 給定 一組隨機變數的數列 $\{X_n\}$ 我們想問
\[
\int_A \lim_{n \to \infty} X_n dP =?= \lim_{n \to \infty} \int_A X_n dP
\]回憶在高等微積分我們希望積分極限互換的情況的條件是需要 uniform convergence 但在機率論或者測度理論我們有以下三個極為重要的定理可以幫助我們在不需 uniform convergence 條件之下仍可達成積分與極限互換，此三個定理分別為 Dominated Convergence Theorem，Monotone Convergence Theorem、Fatou's Lemma
此三者為機率論 與積分理論的重要基石。分別紀錄如下：
考慮 $\{X_n\}$ 為任意隨機變數的 sequence。
=========================
Dominated Convergence Theorem (DCT)
若 $ P( \lim_{n \to \infty} X_n = X) =1$ 且對 $1 \leq n < \infty$，
\[
|X_n| \leq Y \text{ a.s. } \ \& \ E[Y] < \infty
\]，則 $E[|X|]<\infty$ 且
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} E[X_n] = E[\lim_{n \rightarrow \infty} X_n] = E[X]
\]========================
=========================
Monotone Convergence Theorem (MCT)
若 $ 0 \leq X_n \leq X_{n+1} (亦即為 Monotone Functions), \ \forall n \geq 1$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X$則
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} E[X_n] = E[\lim_{n \rightarrow \infty} X_n] = E[X]
\]========================
=========================
Fatou's Lemma
若 $X_n \ge 0 \text{ a.s. } \ \forall n \geq 1$ 則
\[
E[\liminf_{n \rightarrow \infty} X_n] \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} E[X_n]
\]========================
ref:
S. I. Resnick, A Probability Path, Birkhauser
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer
J. A. Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge.
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