Definition: Power Series & Analytic Series
一個 具有下列形式的 Series 稱為 Power Series：對任意 $x \in \mathbb{R}$，
\[
f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n
\]或者更廣義的來說：
\[
f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n
\]若函數 $f$ 具有 power series 我們稱為 解析函數 Analytic function。
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1. 解析函數為 "無窮" series 此暗示了一旦 解析函數被定義即表此 series 收斂。
2. 一般而言對於 power series 我們有兩種方法判斷 series 是否收斂
(a) 採用 Ratio Test ：但此法僅能判斷 series 是否 pointwise convergence。此法如下：
考慮 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$ ；則 Ratio Test 要判斷 第 $n$ 項 與 第 $n+1$項 之比值是否小於1。如果小於1我們說此 series converges pointwise。亦即 Ratio Test 檢驗下式是否成立：
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{c_{n + 1}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{{c_n}{{(x - a)}^n}}}} \right| < 1?
\]關於 Ratio Test 可參考下例：
Example:
試利用 Ratio Test 判斷 $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{n}{{{2^n}}}} $ 是否收斂?
Solution
令 $c_n = {\frac{n}{{{2^n}}}}$ 則我們僅需檢驗
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{c_{n + 1}}}}{{{c_n}}}} \right| < 1?\] 故觀察\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{c_{n + 1}}}}{{{c_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{n + 1}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{n}{{{2^n}}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 1}}{{2n}}} \right| = \frac{1}{2} < 1\]故 收斂。
(b) 採用 Weierstrass M-test: 此法可以判斷 series 是否 uniformly convergence。
關於 M-test：
令 $\{f_n\}$ 為定義在集合 $E$ 上的 函數 sequence 使得 對任意 $t \in E$， $|f_n(t)| \le M_n$；若 $\sum_n^\infty M_n < \infty$ 則 $\sum_n^\infty f_n(x)$ converges uniformly。
詳細關於 Weierstrass M-test 證明與性質請讀者參閱 ： [數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(2) - Series version
3. 若 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x)^n$ 在 $|x| < R$ 收斂( $R$ 可以是 $\infty$)； 則我們說 $f$ 可以用 power series 在 $x=0$點"展開" (此種展開的 power series 稱為 Maclaurin series )
若 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$ 在 $|x-a|<R$ 收斂；則我們說 $f$ 可以用 power series 在 $x=a$ 點"展開" (此種展開的 power series 稱為 Taylor Series)
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Theorem
假設 $f(x) := \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$ 對 $|x-a|<R$ 皆收斂 的 Analytic function，則
1. 對任意 $\varepsilon >0$， $f(x)$ 在區間 $[a-R+\varepsilon, a+R-\varepsilon]$ 上均勻收斂。且
2. $f$ 可微 並 滿足下式
\[
f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n c_n x^{n-1}
\]============
Comment: $R$ 又稱為收斂半徑。
Proof: 只證 1.要證 $f(x) := \sum_n c_n x^n$ 均勻收斂，我們可使用 Weierstrass M-test: 給定 $\varepsilon >0$，觀察
\[\left| {{c_n}{x^n}} \right| \le \left| {{c_n}{{\left( {R - \varepsilon } \right)}^n}} \right|
\]故現在只需證明 $\sum\limits_n {\left| {{c_n}{{\left( {R - \varepsilon } \right)}^n}} \right|} $ 收斂。即可保證均勻收斂。
注意到 對 $|x|<R$， $f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ 收斂 故可推知
\[\sum\limits_n {\left| {{c_n}{{\left( {R - \varepsilon } \right)}^n}} \right|} \]亦為收斂。由 M-test 可知 $f(x) := \sum_n c_n x^n$ 在區間 $[-R+\varepsilon, R-\varepsilon]$ 上均勻收斂
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Corollary: Analytic Function is Smooth
假設 $f(x) := \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$ 對 $|x-a|<R$ 皆收斂，則 $f(x)$為 smooth。亦即 對 $|x| < R$，$f(x)$ 具有任意階導數
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給定解析函數 $f(x) := \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$，則 $f^{n}(a) = n! c_n$，也就是說我們可以求得係數
\[{c_n} = \frac{{{f^n}(a)}}{{n!}}
\]但注意到若我們把上述係數收集起來建構一個 Series，此 Series 並不一定收斂到原函數 $f$。也就是說一個 具有係數為 $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ 的 power series 並不一定為解析函數!
我們用以下一些例子來說明如何求 Power Series 的收斂半徑
Example 1
考慮 $f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ (NOTE: $f(x) = e^x$ )試求 收斂半徑 $R=?$
Solution
注意到此例為 Power Series，我們可採用 Ratio Test 檢驗此級數是否收斂，亦即檢驗
\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{{x^{k + 1}}}}{{\left( {k + 1} \right)!}}}}{{\frac{{{x^k}}}{{k!}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{{{x^1}}}{{k + 1}}} \right| = \left| x \right|\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{1}{{k + 1}}} \right|\]若 $|x| < \infty$ 則上述極限趨近於 $0$ 滿足 Ratio Test 條件，故級數收斂。故收斂半徑 $R = \infty$ 即可。 $\square$
Example 2
令 $a>0$，考慮 $f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{a^k}$ 試求 收斂半徑 $R=?$
Solution
由 Ratio Test，觀察
\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{{x^{k + 1}}}}{{{a^{k + 1}}}}}}{{\frac{{{x^k}}}{{{a^k}}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{{{x^1}}}{a}} \right| = \left| {\frac{x}{a}} \right|\]若
\[\left| {\frac{x}{a}} \right| < 1\]則 級數收斂，亦即 $\left| x \right| < a$，故取收斂半徑 $R:= a$ 即可。 $\square$
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