跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 六月, 2010的文章

[數學分析] Partitions of Unity

Partition of Unity 一般中文翻譯成單位分解,其想法為 透過巧妙手法建構 $1$ !

介紹之前先引入 support 的概念
============
Definition: 函數的支撐集 (Support of a Function)
令函數 $f:E \to \mathbb{R}^n$,並考慮集合
\[
A:=\{x \in E: f(x) \neq 0\}
\]我們稱 closure $\bar A$ 為 函數 $f$ 的 support (i.e., support of a function $f$),一般記作 $supp (f)$
============

Comments:
1. 上述定義告訴我們 函數的支撐集 為 closed set,換言之, $supp(f)$ 的補集為 open set,且我們可以將其表為
\[
E \setminus supp(f) = int\{ x \in E : f(x) = 0\}
\] 2. 事實上在數學分析中,support 概念上雖然大多相同,但實質上在不同體裁中有多種不同定義,比如在機率論中給定隨機變數(可測函數 $X$) 具有分佈 $f_X$ 則我們可定義 分佈函數的 support 如下:對任意 $x \in supp(f_X)$,存在一鄰域 $N(x)$ 使得機率
\[
P( X \in N(x)) >0
\]
============
Theorem: 
假設 $K \subset \mathbb{R}^n$ 為 compact 且 $\{V_{\alpha}\}$ 為 open cover of $K$。則存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\mathbb{R}^n)$ 使得
    (a) $0 \le \psi_i \le 1$ 對任意 $1 \le i \le s$
    (b) 對某些 $V_\alpha$而言,每一個 $\psi_i$ 都有 support
    (c) 對任意 ${\bf x} \in K$而言,$\psi_1({\bf x})+...+\psi_s({\bf x}) = 1$  ============

Proof:
首先證明 存在一組函數 ${\psi _1},...,{\psi _s} \in C(\math…